浅谈洛必达法则求函数极限

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1、用洛必达法则求未定式极限的方法一、洛必达法则求函数极限的条件及适用范围（一）洛必达法则定理定理1[1]若函数与函数满足下列条件：（1）在的某去心邻域内可导，且（2）（3）则（包括A为无穷大的情形）定理2若函数和满足下列条件（1）在的某去心邻域内可导，且（2）（3）则（包括A为无穷大的情形）此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：。定理证明：作辅助函数于是函数F(x)及G(x)在[）连续，在可导，并且今对内任意一点，利用柯西中值定理得由的定义，上式即所以当时（这时显然有），对上式两端取极限，即证毕。关于定理二

2、的证明方法也同定理1类似，这里就不点出。当然，还有其他不同的证明方法。（二）洛必达法则使用条件只有在分子、分母同时趋于零或者同时趋于无穷大时，才能使用洛必达法则。连续多次使用法则时，每次都要检查是否满足定理条件，只有未定式方可使用，若是检查结果满足法则使用条件，才可连续使用洛必达法则，直到求出函数极限或者为无穷大，否则就会得出错误的结果，下面举个例子来说明。例1：求分析：根据洛必达法则使用条件，此式为型，所以可以使用洛必达法则，但是，结果所得非不定式，所以只能使用一次洛必达法则，而不能再进行第二次。解：事实上，，

3、这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。二、洛必达法则的应用（一）基本类型：不定式直接应用法则求极限例2：求解：这是待定型。运用洛必达法则，我们有因为从而例4：求解：上述极限是待定型，于是（二）未定式的其它类型：、、、、型极限的求解此外，除了这两种待定型外，还可以通过转化，来解其他待定型。譬如等待定型，由于他们都可以转化为，因此，也可以用洛必达法则来求出他们的值[2]。关于如何转换，例如则是形式，这时，可以写为，这就转化为了。此外对于等不定式，可以取对数化为的

4、形式，再运用如上方法便可转化为了，下面对这些待定型一一举例解答以作说明[3]。例5：解：这是型，设法化为形式：====例6：求解：这是=exp=exp=例7：求解:这是待定型，经变形得，而故例8：求解：这是待定型，可变形为，成了待定型，于是例9：求解：这是待定型，由对数恒等式知，，运用例8可得三、洛必达法则对于实值函数的失效问题洛必达法则可谓是在求不定式极限中作用最为显赫的一种方法，当然，它也有失效的时候。“失效”的原因则是因为题目本身不满足可以使用洛必达法则的几个条件。所以，在要使用洛必达法则时，则要检验该题目

5、是否符合洛必达法则条件，洛必达法则失效的基本原因有以下几种。（一）使用洛必达法则后，极限不存在（非），也就是不符合以上定理1、2的条件（3）[4]例10：计算解：原式=（二）使用洛必达法则后，函数出现循环，而无法求出极限，也就是不符合定理1、定理2的条件（3）例11：计算解：原式==1（三）使用洛必达法则后，函数越来越复杂，无法简单判断出函数是否存在极限，也就是不符合定理1、定理2的条件（3）例12：计算解：令，则原式=（四）求导后有零点，也就是不满足条件例如，的极限是不存在的，事实上，取，此时分母的导数是有零点

6、的。四、洛必达法则与其它求极限方法比较使用洛必达法则时不要忽视别的求极限方法，并不是所有不定型用洛必达法则最为方便，在关注使用洛必达法则的同时，我们还要注意到其他求极限的方法，依题目而选定最合适的方法。对于解函数极限的题，若是不定式符合洛必达法则条件，确实可使用洛必达法则，但也不是说单一只能使用洛必达法则，也可以试着洛必达法则同其他方法一起，可能可以使解题更为简便。（一）洛必达法则与无穷小代替法应用等价无穷小量代替法化简，牢记下列等价无穷小量：当时，用此方法应要注意，加减的无穷小量不能用等价无穷小量代替，需是无穷

7、小量比的形式，或是极限中的乘积因子为无穷小量，且替换后极限存在，才能用等价无穷小量替换[5]，下面举个例子作为比较。例13求解1：（运用无穷小量代替法）解2：（利用洛必达法则）=====分析：此题若直接用洛必达法则，则会较麻烦，相反，若之前先用无穷小量替代，就可简化解题过程。解：=（二）洛必达法则与运用极限的运算和已知的极限求极限比较[6]利用极限的定义和适当放大法也是可以求出一些较为“简单”形式变量的极限。一旦我们知道了一些极限后，用加减乘除的方法就可以计算出一些较为复杂的极限，这也是极限运算中比较常见、便捷的

8、方法。如下几个例子，就可以运用加减乘除简便的求出函数的极限。例14：求解1:=这里运用到了解2：此题若是使用洛必达法则，则需要使用洛必达法则四次，显的尤为繁琐，这里可以给出洛必达法则求此极限的解题过程，以做说明。=（第一次运用洛必达法则）==（第二次运用洛必达法则）==（第三次运用洛必达法则）=（第四次运用洛必达法则）所以原式=。单已例14为例，纵观用极限运算和已知极限来