浅谈用“洛必达法则”求极限

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1、浅谈用“洛必达法则”求极限作者:**学号:2010*******数学科学学院数学与应用数学10级汉二班指导教师:***摘要：数学分析中几乎所有的概念都离不开极限。因此，极限概念是数学分析的重要概念，极限理论是数学分析的基础理论。极限法的引入与完善是出于社会实践的需要，是许多人奋斗的结果，不是哪一个数学家苦思冥想出来的。极限的求法很多，主要包括有：①利用极限的定义；②利用极限的运算法则求极限；③利用极限存在的条件和准则求极限；④利用两个重要极限求极限；⑤利用等价无穷小量和泰勒展开求极限；⑥利用函数的连续性求

2、极限；⑦利用洛必达法则求极限；⑧利用中值定理求极限；⑨利用导数或定积分的定义求极限；⑩利用级数收敛的必要条件求极限。在此我只对利用“洛必达法则”求极限的这一方法进行了分析与概括。关键词：数学分析、极限理论、极限的计算、洛必达法则、无穷小（大）量利用洛必达法则求未定式的极限是求极限方法的重点之一，在解题中应注意：　　①在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。　　

3、②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。　　③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.④洛必达法则常用于求不定式极限。基本的不定式极限：型；型（x→∞或x→a），而其他的如，1，00，0，1，-2等形式的极限则可以通过相应的变换转换成上述两种基本的不定式形式来求解。1．“洛必达法则”的定义（L’Hospital）约定用“0”表示无穷小，用“”表示无

4、穷大。已知两个无穷小（大）量之比的极限可能存在，也可能不存在。如果存在，其极限值也不尽相同。因此，称两个无穷小或两个无穷大量之比的极限为型或型未定式极限。这两种情况都不能直接用商的极限运算法则计算。实际上，导数本身就是讨论型未定式极限，因此，我们就能够以导数为工具来研究一般未定式的极限。这个方法通常称为“洛必达（L’Hospital）法则”。2.“洛必达法则”的有关定理，适用形式及计算定理（I）若函数与满足下列条件：（i），；（ii）与在点的某空心邻域内可导，且；（iii），则.定理（II）若函数与满足下

5、列条件：（i）,；（ii）与在点的某一邻域内可导，且；（iii），则.定理（I）和（II）可以接连应用几次，只要,,,等满足定理的条件即可。除了型和型未定式，还有，，1，00，0，等几种类型的未定式，这些未定式均可以化为型或型未定式来计算。1）0型未定式当或时，若,，则或，这样，型未定式就变为型或型未定式。2）型未定式当或时，若,，则这样，型未定式就变为型未定式。3）型未定式当或时，若(或，或)，（或）。则或，这样型未定式变为型未定式，再用1)的方法即可变为型或型未定式，就可利用洛必达法则进行求解。例1.

6、求解：此极限为型，满足洛必达法则条件。例2.求.解：此极限为型，满足洛必达法则条件。注意到，，则例3.求.解：这是型未定式，由洛必达法则，例4.求.解：明显，本题为型未定式，那么首先将它化为型未定式，而后再利用洛必达法则。例5.求.解本题为型，可以将其转化为型或型。令，则，此时已是型，即有，。所以，，因此.洛必达法则是求未定式的一种有效的方法，但是最好是能与其他求极限的方法结合使用。如能化简时尽可能化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可使运算简捷。最后，指出使用L’Hospital

7、法则时要注意的两个问题。第一，当不是型或型以及它们的变形时，不能使用法则，否则可能会造成错误。例6.求.解这不是型，也不是型，它的极限为若不问情况地贸然使用L’Hospital法则，就会得出不正确的结果。因此，每次使用L’Hospital法则之前都必须对极限的类型加以检验。第二，L’Hospital法则只告诉我们，对于型或型，当存在时，它的值等于。当不存在时，仍可能存在。如，虽然是型，但我们并不能根据当时的极限不存在，就错误地得出也不存在的结论——事实上，显然有.因此，不存在并不表示本身存在或不存在，它仅

8、意味着，此时不能使用L’Hospital法则，而改用其他方法来讨论。3结论从极限概念的产生到现在已经经历了两千五百多年的发展，漫漫的历史长河，人类在寻求真理和科学的过程中不断探索和总结，对于数学的探索给了人类科学发展以强大的动力。我们应当对任何知识都认真的学习、研究及做出总结。不仅踏寻前人的路迹，同时也要从中开创新的空间。“洛必达法则”是求解或未定式的使用最广泛的有效方法。洛必达法则内容很简单,使用起来也方便,但在具体使用过程