应用洛必达法则求极限时需注意的问题.pdf

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1、第30卷第1期邢台职业技术学院学报、bl_30NO．12013年2月JournalofXingtaiPolytechnicCollegeFeb2013应用洛必达法则求极限时需注意的问题吴端玲(泉州医学高等专科学校，福建泉州362000)摘要：函数极限的计算在高等数学的教学中占有重要的地位，其求解的方法有很多，而洛必达法则是最主要的方法之一。本文对洛必达法则在求极限中的运用，通过具体的例题阐述了在计算时应注意的问题，让学生更深入地理解法则的条件，从而使学生应用法则进行问题解决的能力提高。关键词：洛必达法则；高等数学；极限

2、中图分类号：O173文献标识码：A文章编号：1008----6129(2013)0l—O06o--J03在高等数学的教学中，求极限不仅是最基础的一部分，而且还是最重要的内容之一。要学好高等数0∞学，必须对求极限的方法熟练掌握。极限的求解可以有很多方法，而洛必达法则是对未定式“”型与“一o0”型进行求解的重要方法l¨。在教学中这样的例子比较多，学生对其有兴趣，但在应用该法则时还是会有问题出现，其主要原因是忽视了法则使用的范围与成立的条件，再者就是对洛必达法则的运用过度重视，而对于极限的其他求解方法的综合运用却不够重视。为

3、了使学生们对洛必达法则更好地使用，除了对法则进行熟练掌握以外，还要注意以下几个问题。一、应正确理解洛必达法则的内容定理：当①limf(x)=0(oo)，limg(x)=O(∞)；x—}O—÷--)-or)X-~o0②在点X0的的某去心邻域内(1XI或>x)，f，(X)与g’(x)均存在，且g’(X)≠o；⑧limf(x)存在(或为无穷大)，X．-．~X0g(x)∞则lim丛=lim=．A(A为有限值或者无穷大)。f】g(x)：g(x)例1求lim兰：±兰二三x-．-~lX+1错解：由洛必达法则得出lim兰：±二=lim

4、塾±=3。x．-~lx+1l1实际上，lim三二兰不是未定式，与法则的条件①不相符，直接用洛必达法则必然会出现错误。x---~lX+1所以，在运用洛必达法则时，首先要验证是否为未定式，并对其类型进行判定。正确的解法是：直接运用极限的四则运算法则可得lim：±兰二兰=0。x-．-．~l+1例2求limxlnxx0这是“0·oo”型的未定式，可以将其转化为“”型的未定式，由洛必达法则可得：很明显，结果是不正确的，其原因是在法则条件③中，分子与分母收稿日期：2013一O2—26作者简介：吴端玲(1984一)，女，福建泉州人，

5、泉州医学高等专科学校，助教。6O邢台职业技术学院学报2013年第1期要同时进行求导，但不能将其理解成整个分式的求导。所以，limxlnx=lim一Inxim(一x)=0。只有同x-~O0．10时满足洛必达法则的三个条件，才能利用该法则进行求解极限。二、在连续多次运用洛必达法则时要逐步验证例3~"lim二x-MX’一X这属于co，，型的未定式，按照洛必达法则可得：lira=lim=lim一12x=20X。一X3x一1．6x这道题目在求解过程中，洛必达法则连续使用了两次，在进行第二次该法则时，1i已经不是未定式，与洛必达法

6、则的条件不相符，所以正确的求解方法如下：lira垒lim。-+。羹等。例4求lim!±：x+X这属于t，，型的未定式，满足洛必达法则的条件，连续多次运用法则后得：lim=lim—一=lim=-=⋯，如此就出现了循环现象，但这并不能说明函数不存在极限，-卜√1+、只能说明洛必达法则起不到作用了，需要通过其他的方法进行求解。通过其他方法进行极限求解，z⋯10：lim±：：lim7+1=1。+∞+∞V三、要注意洛必达法则的逆命题未必成立X2sin一1例5求极限lirax-+Osin错解：这是“”型的未定式，根据洛必达法则可得

7、：tlimx~sin-兰-1im竺!竺1二：!：1兰兰也不存在：=但。一1在0时不存在极限，因此函数lira——1im——羔——立，但cos一在时不存在极限，因此函数也小存在，极限。虽然这道题目与洛必达法则的条件相符，由于lim不存在，但在并不能说明lira也不存—g(x)—’“g(x)在，存在极限的充分不必要条件就是等存在极限，此时只能说明洛必达法则不起作用了。求解这，．1‘sin—y1道题目可以采用两个重要极限和无穷小的性质进行，正确的解法：lim—_-羔=lim一÷xsin2--0。x-．+OsinXx-~OS1

8、nXx四、要注意与其他求极限的方法结合对于求未定式的极限时，尽管洛必达法则非常方便，但对于求极限的其他方法也要给予重视【4】。首先，洛必达法则在使用时并不一定就是最简单的，在某些时候会出现导数的计算量很大。例6求极限lim二三巫!±x-~OxsinX如果直接根据洛必达法则，则分子与分母在进行求导时非常复杂，如果采用等价无穷小量代换