洛必达法则详解.pdf

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1、信息学院罗捍东第二节洛必达法则当xa()或x时，如果函数f(x)和g(x)的极fx()限都为零或都趋于无穷大，则极限limgx()可能存在也可能不存在，通常称这类的极限为未定0式，简记为或。0tanx0lnsinax例如：lim,()lim,()x0x0x0lnsinbx00其它型的未定式还有：0,,1,0,信息学院罗捍东04.2.1型未定式0定理：洛必达法则设:(1)lim()fxlim()gx0;xaxa(2)fxgx(),()在a点的某去心邻域内可导,且gx

2、()0;fx()(3)lim存在(或);xagx()fx()fx()那末limlim.xagx()xagx()信息学院罗捍东证：补充定义f(a)=g(a)=0。则f(x)、g(x)在区间[a,x](或[x,a])上满足柯西定理。fx()fx()fa()f()则有(在x与a之间)gx()gx()ga()g()fx()f()当xa时,a,limA,limA,xagx()ag()fx()f()limlimA.xagx()ag

3、()信息学院罗捍东注意：1)罗必塔法则中极限A可以是无穷大。2)当x时，罗必塔法则也成立。即fx()fx()limlim.xxgx()gx()信息学院罗捍东3xx320例1:求lim32.()x2xx28x03xx332xx32解:limlim32xx22xx28x32xx28x233x9lim.2x23xx2210信息学院罗捍东tan2x0例2:求lim.()x0sin3x0tan2xtan2x解:limli

4、mxx00sin3xsin3x2(sec2)2x2limx0(cos3)3x3信息学院罗捍东arctanx0例3:求lim2.()0x1x1arctanx21x2解:limlimx1x1x2x2xlim12x1x信息学院罗捍东fx()如果gx()仍然是未定式极限，且fxgx(),()也满足罗必塔法则的条件，则可继续使用罗必塔法则。即fx()fx()f()xlimlimlim.xagx()xagx()xagx

5、()信息学院罗捍东xxee2x例4:lim0()x0xxsin0xxee2xeexx2解:limlim(0)x0xxsinx01cosx0xxeelim(0)x0sinx0xxeelim2x0cosx信息学院罗捍东xexcos例5：求limx0xxsinxxexsinexcos解：limlimx0xxsinx0sinxxcosxxexcos11lim1x0cosxcosxxsinx110xxexcosexsin正解

6、：limlimx0xxsinx0sinxxcosx信息学院罗捍东21xsin例6：求limxx0sinx221111xsin2xsinxcos()2xxxx解：limlimxx00sinxxcos112xsincosxxlim不存在x0cosx21xsinxx1正解：limlimxsin100xx00sinxsinxx信息学院罗捍东注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用（特别是利用等价无穷小量替换），效果更好。tanxx

7、例7：求lim.2x0xxtan利用等价tanxxtanxx解：limlim无穷小量23xx00xtanxx替换22secx1tanx1limlim22x03xx033x信息学院罗捍东考研题欣赏2006（四、19）试确定常数A、B、C的值使得：x23e11BxCxAxox33其中ox是当x0时比x高阶无穷小。解:根据题设和罗必达法则，由于x2e11BxCxAx0lim2分3x0xx2e12BBxCxCxAlim2x03

8、x信息学院罗捍东x2e2C12BB4CxCxlimx06xB42CCx10BAlimx062BC210得BC408分121解得A,,BC10分336信息学院罗捍东4.2.2型未定式定理：洛必达法则设:(1)lim()fxlimg()x;xaxa(2)fx(),g()x在a点的某去心邻域内可导,且g()x0;fx()(3)lim存在(或);xag()xfx