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1、动力学/虚位移原理理论力学第十五章虚位移原理第三部分动力学§15–1约束及其分类第十五章§15–2自由度广义坐标§15–3虚位移和虚功理想约束虚位移原理§15-4虚位移原理§15-5以广义坐标表示的质点系平衡条件12动力学/虚位移原理动力学/虚位移原理§15-1约束及其分类静力学：从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，研究刚体及刚体系统的平衡问题。一、约束及约束方程约束：限制质点或质点系运动的各种条件。本章：介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的约束方程：约束的限制条件以数学方
2、程表示。一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件－－虚位移原理。例如：平面单摆它是研究平衡问题的最一般的原理；将它与达朗贝222尔原理相结合，可得求解动力学问题的动力学普遍方程x+y=l34动力学/虚位移原理动力学/虚位移原理曲柄连杆机构当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，称为222xA+yA=r运动约束。222(x−x)+(y−y)=lBABA例如：车轮沿直线轨道作纯滚动y=0B2、定常约束和非定常约束二、约束的分类根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型：约束条
3、件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束。1、几何约束和运动约束约束条件不随时间改变的约束为定常约束。限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定约束。如前述的单摆和曲柄连杆机构例子。常约束。561动力学/虚位移原理动力学/虚位移原理例如：重物M由一条穿过固定圆非完整约束方程只能以微分形式表达。环的细绳系住。初始时摆长l0,匀速v如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束拉动绳子。方程中虽有坐标对时间的导数，但可以经过积分运算化为x2+y2=(
4、l0-vt)2有限形式，称为完整约束。约束方程中显含时间例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，x"A−rϕ"=0是微分方程，但经过积分可得到xA−rϕ=C（常数），该约束仍3、完整约束和非完整约束为完整约束。如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何动约束）且这些导数不能经过积分运算消除，即约束方约束。程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非将约束方程积分为有限形式，这类约束称为非完整约束完整约束。78动力
5、学/虚位移原理动力学/虚位移原理4、单面约束和双面约束只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情在两个相对的方向上同刚杆况，其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数绳时对质点或质点系进行运动目，n为质点系的质点个数）限制的约束称为双面约束。f(x,y,z;??;x,y,z)=0只能限制质点或质点系j111nnnx2+y2=l2x2+y2≤l2(j=1,2,??,s)单一方向运动的约束称为单面约束。双面约束的约束方程为等式单面约束的约束方程为不等式910动力学/虚位移原理动力学/虚位移原理
6、§15-2自由度广义坐标一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质点一个自由质点在空间的位置：（x,y,z)3个系，其自由度为k=3n−s一个自由质点系在空间的位置：(xi,yi,zi)(i=1,2……n)3n个通常，n与s很大而k很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的k个参数（相互独立），要比用3n个直角坐对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s)个独标和s个约束方程方便得多。立坐标。广义坐标：用来确定质点系位置的独立参数确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐广义坐标：可以是线坐
7、标（x,y,z,s等），标的数目——自由度数。也可以是角坐标（如α,β,γ,ϕ等）在完整约束情况下，广义坐标的数目等于自由度数目11122动力学/虚位移原理动力学/虚位移原理广义坐标的选择不是唯一的。例如：双摆，设只在铅直平面内摆动。例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角ϕ为广义两个自由度,取广义坐标ϕ，ψ坐标，则：xA=rcosϕ,yA=rsinϕx1=asinϕy=acosϕ1222x=rcosϕ+l−rsinϕ,y=0BBx=asinϕ+bsinψ2y=acosϕ+bcosψ广义坐标选定
8、后，2质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。1314动力学/虚位移原理动力学/虚位移原理一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由§15-3虚位移和虚功理想约束度，取q1、q2、……、qk为广义坐标，质点系内各质点的一、虚位移和虚功坐标及矢径可表为广义坐标的函数。在质点系运动过程的某瞬时，质点系中的质点发生的为约束许可的任意的无限小位移，称为质点系（在该瞬时）x=x(q,q,?,q)ii12k的虚位移。y=y(q,q,?,q)ii12k虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常
