6.2 微定积基本定理1

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1、6.2、微积分基本定理设f(t)在[a,b]上可积,x则对任意x[a,b],f(t)在[a,x]上也可积,且定积分f(t)dt是一个数.a若固定函数f(t)和积分下限a,xx则对于任意一个x[a,b],有唯一确定的数f(t)dt与之对应,记F(x)f(t)dt.aax因此从函数的观点看,定积分F(x)f(t)dt是其积分上限x的函数,ax且它的定义域为[a,b].我们称F(x)f(t)dt为变上限积分.ab同样地,G(x)f(t)dt,x[a,b]也是关于x的一个函数,称其

2、为变下限积分.xx变上限积分F(x)f(t)dt,x[a,b];a统称为变限积分.b变下限积分G(x)f(t)dt,x[a,b]x变限积分可用于构造非初等函数:x2t例:F(x)edt,x[0,1]是一个非初等函数.0一、变限积分与原函数x定理6.1:设f(x)在[a,b]上可积,则F(x)f(t)dt是[a,b]上的连续函数.a注:F(x)在[a,b]上连续指F(x)在(a,b)上处处连续,在xa点右连续,在xb点左连续.(1):先证:F(x)在(a,b)上连续.设x0

3、(a,b),对x0的任一改变量x.x0xx0x0x当xx(a,b)时,有F(xx)F(x)f(t)dtf(t)dtf(t)dt.000aax0由于f(x)在[a,b]上可积,故f(x)在[a,b]有界.设f(x)M,x[a,b],M0.x0xx0xx0x当x0时,F(xx)F(x)f(t)dtf(t)dtMdtMx;00xxx000x0xx0当x0时,F(xx)F(x)f(t)dtf(t)dt00x

4、xx00x0x0xxf(t)dtxMdtxM(x);F(x0x)F(x0)Mx.00故当x0时,有F(xx)F(x),从而F(x)在x点连续,即F(x)在(a,b)上处处连续.000(2):当xa时,对x的任一改变量x0,00x0xx0x0x当xx[a,b]时,有F(xx)F(x)f(t)dtf(t)dtf(t)dt.000aax0由于f(x)在[a,b]上可积,故f(x)在[a,b]有界.设f(x)M,x[a

5、,b],M0.x0xx0xx0xF(xx)F(x)f(t)dtf(t)dtMdtMx.00xxx000故当x0时,有F(xx)F(x),从而F(x)在xa点右连续.000x定理6.2:设f(x)在[a,b]上连续,则F(x)f(t)dt在[a,b]上连续可导,ax且F(x)(f(t)dt)f(x),x[a,b].a注:F(x)在[a,b]上可导指F(x)在(a,b)上处处可导,在xa点右可导,在xb点左可导.F(x)连续可导是指

6、:F(x)的导函数连续.x因此只要证明:F(x)(f(t)dt)f(x),x[a,b],即导函数F(x)f(x)是连续的.a先证:F(x)在(a,b)上可导.设x0(a,b),对x0的任一改变量x使得x0x(a,b),F(xx)F(x)1x0xx01x0x00那么当x0时,有f(t)dtf(t)dtf(t)dt.xxaaxx01x0x1由积分中值定理知:存在介于x与xx之间,使得f(t)dtf()xf().

7、00xx0x由于x0时,x,及f(x)在x点连续,00F(x0x)F(x0)故limlimf()limf()f(x),即F(x)f(x).000x0xx0x0由x的任意性知:F(x)在(a,b)上处处可导,且其导函数为f(x).0当xa时,对x的任一改变量x0,使得xx[a,b],000F(xx)F(x)1x0xx01x0x00那么当x0时,有f(t)dtf(t)dtf(t)dt.x

8、xaaxx01x0x1由积分中值定理知:存在介于x与xx之间,使得f(t)dtf()xf().00xx0x由于x0时,x,及f(x)在x点连续,故00F(x0x)F(x0)limlimf()limf()f(x),即F(x)f(x).000x0xx0x0故F(x)在xa点右可导,且导数为f(a).xb设变上限积分F(x)f(t)dt,变下限积分G(x)f(t)dt,x