24定积分基本定理

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1、14-15学年高三一轮复习数学导学案组题：常颖超审核：白露定稿：王凤国励志格言：不要等待机会，而要创造机会。2.4定积分与微积分基本定理姓名班级学号考纲要求：1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.教学重点：了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分，用微积分基本定理求简单的定积分．教学过程：一．导读1．定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

2、点ξi(i＝1,2，…，n)，当n→∞时，和式f(ξi)无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝limf(ξi)，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．2．定积分的几何意义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≥0，那么定积分f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分)，这就是定积分f(x)dx的几何意义．3．定积

3、分的性质(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．质疑探究：你能用定积分的几何意义解释性质(3)吗？提示：如图所示，设在区间[a，b]上恒有f(x)≥0，c是区间(a，b)内的一点，那么从几何图形上看，直线x＝c把大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此，大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2，用定积分表示就是性质(3)．4．微积分基本定理一般地，如果f(x)是

4、区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式．(2)几种典型的曲边梯形面积的计算方法：①由三条直线x＝a、x＝b(a＜b)、y＝0，一条曲线y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形(如图)的面积：S＝f(x)dx.②由三条直线x＝a、x＝b(a＜b)、y＝0，一条曲线y＝f(x)(f(x)≤0)围成的曲边梯形(如图)的面积：S＝

5、f(x)dx

6、＝－f(x)dx.③由两条直线x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线y＝f(x)、y＝g(x)(f

7、(x)≥g(x))围成的曲边梯形(如图)的面积：S＝[f(x)－g(x)]dx.二.导思、导研【探究一】利用微积分基本定理求定积分【例1】利用微积分基本定理求下列定积分：(1)(2)（3）【探究二】利用定积分求平面图形的面积【例2】(2010年山东潍坊模拟)由抛物线y＝x2－1，直线x＝2，y＝0所围成的图形的面积是________．【探究三】定积分在物理方面的应用【例3】一物体做变速直线运动，其vt曲线如图所示，则该物体在s～6s间的运动路程为________．变式探究3：一物体以v＝3t2＋10t＋3的速度沿直线运动，则该物体开始

8、运动后5秒内所经过的路程s为________米．(速度单位：米/秒，路程单位：米)三．提升总结1.利用微积分基本定理求定积分(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．2.利用定积分求曲边梯形面积的步骤：(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分，写出答案．3.定积分在物理方面的应用主要

9、包括：①求变速直线运动的路程；②求变力所做的功．14-15学年高三一轮复习数学导学案组题：常颖超白露定稿：王凤国励志格言：不要等待机会，而要创造机会。2.4定积分与微积分基本定理姓名班级学号导练1．下列积分的值等于1的是(　　)A．1B．e－1C．eD．e＋14．(人教A版教材习题改编)汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的路程是________．5.给出如下命题：①dx＝dx＝b－a(a，b为常数且a

10、的面积之和为2.其中正确命题的个数为(　　)(A)0(B)1(C)2(D)3答案：例1.例2.例3.变式导练5.