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1、第二节微积学基本定理一、变上限积分与对积分上限变量求导数二、微积分基本定理如果物体运动的速度函数为v=v(t),那么在时间区间[a,b]内物体的走过的路程s可以用定积分表示为另一方面,如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t),则在时间区间[a,b]内物体的位移为s(b)–s(a),所以又有由于,即s(t)是v(t)的原函数,这就是说,定积分等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a,b]上的增量s(b)–s(a).一、变上限积分与对积分上限变量求导数设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则对于任意的x(),积
2、分存在,且对于给定的x(),就有一个积分值与之对应,所以上限为变量的积分是上限x的函数.注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念,在求积时(或说积分过程中)上限x是固定不变的,而积分变量x是在下限与上限之间变化的,根据定积分与积分变量记号无关,用字母t表示积分变量,于是变上限记号为φ(x)因此常记为定理5.3如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则变上限的积分所确定的函数在[a,b]上可导,且证明由积分中值定理有结论：变上限积分所确定的函数对积分上限x的导数等于被积函数f(t)在积分上限
3、x处的值f(x).定理5.4(原函数存在定理)原函数存在定理一方面说明连续函数必有原函数,另一方面又揭示了连续函数定积分(这里是指变上限定积分)与不定积分的关系,并由此可以得到利用原函数计算定积分的公式(称为微积分基本定理).定理5.5(微积学基本定理)设函数f(x)在区间上连续,且F(x)是f(x)在[a,b]上的任一原函数二、微积分基本定理证明或记作上式称为牛顿-莱布尼茨公式,也称为微积分基本定理.则即有令x=b得令x=a,得牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法,即求定积分的值,只要求出被积函数f(x
4、)的一个原函数F(x),然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题,揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.例1求解例2求解例3求解根据定理6.3有例4求解
