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1、2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题21平面向量的基本定理及其坐标表示理(含解析)新人教A版【高频考点解读】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.常握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平而向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【热点题型】题型一平面向量基本定理的应用【例1】⑴在△磁中，点〃在边初上，〃平分ZACB.若云=a,~CA=b.h
2、=l,b=2,则鬲=()1,22_1A.B.严+§方C.爲+2力D.為+为□O00]2~>—>(2)设〃，F分别是△昇力的边AB
3、,力上的点，AD=~AB,BE=-BC.若DE=AXAB+久2化(久】,仏为实数)，则儿+久2的值为•【答案】(l)B(2)
4、【解析】⑴法一因为CD平分ZACB,由角平分线定理，皑=需詣=2,所亦B=2^二所以C4+IB=ca+?—>—A?—A―>严=的+生CB_C4)=2fIf21彳CB+护4=豹+新.法二〔特殊值法)构造直角三角形，令CS=1,CA=2,A8=迈，则ZDCB=30J所以ED二爭.~~~》121CD=C®+ED=°+諛一国=凱+抄2-3--1一&―>―>—y1―>7~y1―>7~>―>1―>?—y(2
5、熔=沏+£砖尹+第0=/$+*恥+/°=-和直+討⑺所以九=即Ai4-^2—2-【提分秘籍】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【举一反三】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD=xAB+yAC,则,y=【答案】1+爭平【解析】如虱过点D作莎丄血于尸，设血=知=1,则BC=DE=&■/ADEB-60。,・・・ED=DEs
6、iii60由ZJ)BF=45D?得DF=新=冬＞^=善:.AD=AB+BD=AB+BF+FD题型二平面向量的坐标运算13(1)因为£曰=【例2】(1)已知平面向量日=(1,1),*(1,—1),则向^a-~b=()A.(—2,-1)B.(-2,1)C.(—1,0)D.(-1,2)(2)在平行四边形ABCD中,为一条对角线,若莎=(2,4),云=(1,3),则莎=()A.(一2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4)【答案】(1)D(2)B【解析】1Q所以尹一尹=(—1,2).(2)由题意得BD=AD-AB
7、=BC-AB=(AC~Af?)-AB=AC~2AB=(1,3)—2(2,4)=(—3,—5)•【提分秘籍】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若己知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.【举一反三】⑴己知点水一1,5)和向量a=(2,3),若AB=3a,则点〃的坐标为()A.(7,4)B.⑺14)C.(5,4)D.(5,14)⑵在△初C中，点尸在BC匕且BP=2PC,点0是加的中点，若刊=(4,3),戶0=(1,5),则饥等于(A.(-2,7)B.(
8、—6,21)C.(2,-7)D.(6,—21)【答案】(DD【解析】〔1)设点占的坐标为復，贝
9、口鸟=仅+1,y-S).仗+1=6＞上心.°解得•»一5=4由AB=3a?得X=»尸14.(2)BC=3PC=3(2PO-B4)=6PO-3P4=(6,30)-(12,9)=〔一6,21).题型三向量共线的坐标表示【例3】平面内给定三个向量a=(3,2),5=(—1,2),c=(4,1).⑴若(日+屁)//(2b—a),求实数k；⑵若d满足(d—c)//(c?+Z?),H
10、d—c求d的坐标.解(1)日+后=(3+4乩2+A
11、),2b—a=(-5,2),由题意得2X(3+4幻一(-5)X(2+A)=0,则d_c=(%—4,y—1),又a+b=(2,4),[4(/—4)—2(y—1)=0,x=3,9解得或14)'+(y—1)2=5,〔尸一1Id—cx=5,7=3.・•・〃的坐标为(3,—1)或(5,3).⑴两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若日=5,刃)，b=g乃)，则a//b的充要条件是^172—^2/1=0；②若日〃方(日H0),则b=a.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向暈平行，也可以由平行求参数.当两向暈的坐标均非零时，也可
12、以利用坐标对应成比例来求解.【举一反三】⑴已知梯形肋⑵其中血/〃社DC=2AB,三个顶点水1,2),从2,1),C(4,2),则点〃的坐标为.(2)己知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a—c)//b,则£=【答案】⑴⑵4)(2)5【解析】(I)：•在梯形曲CD中，DC=2AB,ABHCD,:.DC=2A£.
