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1、2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题20平面向量的概念及其线性运算理（含解析）新人教A版【高频考点解读】1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的儿何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及英几何意义.【热点题型】题型一平面向量的有关概念【例1】给出下列命题：①若a=bf则a=b；②若儿B,C,〃是不共线的四点，则茹=庞是四边形外％刀为平行四边形的充要条件；③若a=b,b=c,则a=c；④若a//b,b//c
2、,则a//c.其中正确命题的序号是（）A.②③B.②④C.③④D.②③④【答案】A【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.••応=冼，・••涵=函且云"疋，又A,B,C,D是不共线的四点…••四边形4SCD为平行四边形；反之，若四边形血仞为平行四边形，则A=DC?忑"庞且益，庞方向相同，因此，花=DC.③正确.'/a=b,/.a,b的长度相等且方向相同,又b=cf.b,c的长度相等且方向相同、：心c的长度相等且方向相同，故a=c④不正确.当*0时，a,Q可能不平行.综上所述，正确命题的序号是②③.【提分秘籍】（1）相等向量具有传
3、递性，非零向量的平行也具有传递性.（2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图彖的移动混为一谈.⑷非零向量自与—的关系：十是与瘦同方向的单位向量.丨引a【举一反三】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小,③若心=0（4为实数），④已知久，P为实数，若其中错误命题的个数为（但它们的模能比较大小；则久必为零；入a=Pb,则盘与b共线.A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】①错误・两向重共线要看其方向而不是起点与终点.②正确.因为向量既有犬小，又
4、有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.③错误.当。=0时，不论人为何值，加=0.④错误.当人=尸0时，心込此时，。与0可以杲任意向量.题型二平面向量的线性运算【例2】仃）在△肋C中，肋边的高为09,若CB=a,CA=b,白・方=0,丨臼
5、=1,丨方
6、=2,11A.~a--b22B.~a--b44fD.~a—~b□□（2）如图，在平行四边形力册中，对角线/C与別交于点ftAB+AD=AAO,贝ijA=【答案】（1）D（2）2【解析】（1）••站・〃=0,:.ZACB=^°,・・・肋=&,力=竿[^4[^:.BD^FAD=+，:.AD:B
7、D=4:1.oo—4—4/—f、44:.AD=-AB=-{CB-CA）=~a--b.5o55(2)因为力越为平行四边形,所以AB+AD=AC=2A0,已知AB+AD=AAO,故A=2.【提分秘籍】(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.【举一反三】⑴如图所示，已知初是圆0的直径，点C,〃是半圆弧的两个三等分点，AB=a.AC=bf则莎=()A.a——/?B.2a~C.日+*D.*卄方(2)如图，
8、D,E,尸分别是△肋Q的边個BC,以的中点，贝lj()A.AD+BE+CF=OA.BD~CF+DF=^B.AD+CE—CF=OA.BD—BE—FC=O【答案】(1)D(2)Af1f1【解析】⑴连接由点C,〃是半圆弧的三等分点，得CD//AB且尹所ff—]以AD=AC+C'D=方+尹.(2)由题意知：AD=FErBE=DF,莎=莎，而莎+莎+莎'=0,:,AD+BE+CF=0.题型三共线向量定理的应用【例3】设两个非零向量臼与方不共线.⑴若AB=a+b,BC=2a+8b,鬲=3@—勿.求证：A,B,〃三点共线；(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.(1)证明
9、•・•花二BC=2a+Sb,Eb=3@_町・:.BD=BC^CD=2a^8D+3仗一D)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB..'•AB,矗共线，又它们有公共点E,・・儿B,D三点共线・⑵解・.&+/＞与a+处共线，・•・存在实数d使M+b=》・(a十kb),l)b.•・46是不共线的两个非零向量，.•用_1=0,r.i=±L一.【提分秘籍】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向塑共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量0共线是指存在不全为零的实数几久2，使人1日+人2&=0成立；若人皿+久2〃=0
10、,当且仅当
