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《《高等数学》第十一章微分方程（电子讲稿）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第十一章微分方程微分方程理论是在十七世纪末开始发展起来的，儿乎与微积分的计算同时产生.现在，微分方程已经成为研究自然现象的强有力的工具.人们曾经利用微分方程的相关理论，预测了海王星在天空中的位置，并找到了海王星.本章主要介绍微分方程的一些基本概念和儿种常用的微分方程的解法.第一节微分方程的基本概念在中学，我们知道，含有未知数的等式叫做方程；满足方程的未知数的值，叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程.对于微分方程，我们有类似的概念.含有自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的等式就叫做微分方程.例如，学+卩(小=0(兀)，d2y2A•—g4-my=Asma)x
2、,dv2d)，dv■^2Z+(y)6-4^5=7x,0,du_d2udxdy2'd2ud2u(1)(2)(3)(4)(5)(6)都是微分方程.不含偏导数或偏微分的微分方程称为常微分方程；含有偏导数或偏微分的微分方程称为偏微分方程.例如，方程（1）〜（4）是常微分方程；方程常微分方程，并简称微分方程（或称方程）.微分方程中所出现的未知函数的导数定义2定义3（5）,（6）是偏微分方程.本章只限讨论（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的阶.例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（2）,微分方程.一般地，〃/兀y,儿…』（3）是二阶微分方程；方程（4）是三阶阶微分方程形式为
3、F（x,”/•••,）"））=（）,其中必须出现，而（心）可以不全出现.满足微分方程的函数称为微分方程的解.••例1验证：函数,y=C,e^+C2e^（其中，C.,C2,人，入为常数）是微分方程y"-仏+A2）y,+AlA2y=0的解.证对.y=C,e^+C2e^两边分别取一阶导数和二阶导数，得/=（C,0+C2e®）'=C}e和+^C2e林,y=（人G0+希C2/”）'=皆G0+盂C2e*,将y，y，f代入方程的左边，得左边=（^2C,e^x4-A；C2e^r）-+^）（^C,e^A+Z,C2e^x）+人入（GC?e®）=0=右边.所以函数y是该方程的解.定
4、义5注意到，本例屮的函数j=C,e^+C2e^屮有两个常数C「C?,它们可以取不同的实数,从而可得到微分方程（人+人”‘+人易尸0的无穷多个解.一般地，我们有以下概念：如果微分方程的解中含有任意变化的常数，且任意变化的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解（这里所说的任意变化的常数是相互独立的，就是说，它们不能合并而使得任意常数的个数减少，详见木章第六节关于函数的线性相关性）.由于通解含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一种客观事物的规律性.因此,必须根据问题的实际情况提出某些特定的条件，即当口变量取特定值时，未知函数或其导数对应的确定
5、值，这种定解的条件称为初始条件（或初值条件）.••例2/
6、x=n=°-解对函数y=C
7、sin(x-C2)两边求导，得=C]cos(x-C2).将y
8、代入y=Cjsin(兀-C2),GH0,故cosC2=0,确定了通解中的任意常数后的解叫做微分方程的特解.求微分方程的解的过程叫做解微分方程.x=n确定函数）=C,sin（x-C2）中所含的参数C,,C2,使函数满足初始条件ye=i和y=o分别y=C]cos(x-C2),得QsinC2=1,QcosC2=0.由C}sinC2=1矢口，从而兀C.=2k兀土上伙gZ),<・2C[=1,7tC.=2k兀+—(keZ)2C}
9、=±1,C]=-1,兀所以，所求函数为y=-cosx.U=2k兀一一伙gZ),―2习题11-11.判断下列方程是儿阶微分方程:(1)ytan/+3f'sin/+l(3)x(yy~2yy+x=0；(2)(7兀一6y)dx+(x+y)dy=0；(4)b+2(y")f，=o.2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：(1)兀y"=2y,y=5x2；(2)y"+y=0,y=3sinx-4cos兀；(3)yn-2y+y=0,y=x2ex；(4)(xy-x)yM+x(yf)2+yy一2y=0,y=In(兀y).3•确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条
10、件.(1)x~—y2=Cty
11、v=0=5；(2)y=(C(+C2x)e~v,y
12、x=0=0,yt=0=1.4.能否适当地选取常数2,使函数y=eZA成为方程/-9y=0的解.5•消去下列各式中的任意常数C’GG，写出相应的微分方程.(1)y=Cx+C2；(2)y=xtan(x+C)；(3)xy=C,eA+C2e'x；(4)(y-Cy=C2x.第二节变量分离方程上一节介绍了微分方程的基本概念，但没有介绍如何解微分方程.本节至第四节将讨论常见的一阶微分方程的解法.一、变量分离方程形如〃(x)dx=q(y)dy(1)的方程，称为变量已分离方程，其中p(x),讥刃是已知
13、连续函数.如果一阶微分方
