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《《高等数学》第十章无穷级数（电子讲稿）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第十章无穷级数在许多科学技术领域中，常常要求我们将无穷多个数或者函数相加，我们把这种和式叫做无穷级数.无穷级数是表示函数、研究函数性态以及进行数值计算的一种有效工具.无穷级数分为常数项级数和函数项级数，本章将先介绍常数项级数的概念及其敛散性的审敛法，然后讨论函数项级数，最后将着重讨论如何将函数展开成幕级数和三角级数的问题.第一节常数项级数的概念与性质一、常数项级数的基本概念设给定一个数列络，如，…血，…，用加号把这些项连结起來所构成的和的表达式“I+“2+…他+…（1）称为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记作=坷+“2+—+冷+…，级数的71=1第77项％通常称为级数的一般项或通项.8
2、]1118例女U—=1+—+—+…+—+…，5^（_1）拜=—1+1一]+1一・・・+（—l）n+…，仁5!2!3!n铝£“=1+2+3+…+〃+•••都是常数项级数.n=l上述级数的定义仅仅是一种形式上的定义，这种加法是否具有“和数”，这个“和数”的意义是什么？为了解决这个问题，我们先作（常数项）级数（1）的前n项和»二U,+W2,（2）i=ls”称为级数（1）的部分和.当川依次収1,2,3,…时，部分和又构成一个新的数列S2=气+%2，归+处+“3,…，》=+«2+•••+"“，…，即数列》归,…心，….把这个数列｛»｝称为级数的部分和数列（简称为部分和）.W=1当趋于无穷大时，如果级数
3、的部分和数列｛$」有极限$艮卩lim"1s“=s、则称无穷级数£冷收敛，并称极限$为级数的和，写成“终+处+••“+••••如果部分和数"二1列｛»｝没有极限，则称无穷级数£叫发散.W=1当级数收敛时，其部分和》是级数的和S的近似值，它们之间的差值n=lrn=s-sn=un+l+un+2+--称为级数的余项.用近似值代替和s所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是
4、乙
5、・••例1判别无穷级数工爪1+2+3+・・・+〃+…的敛散性.n=l解由于$”=1+2+…+2丛也，则lim$”=lim丛也=oo,所以该级数发散.2ZJT8"Too2••例2讨论级数1—1+1-1+・・・+(-1)心+…的敛散
6、性.解部分和数列山=1,52=1-1=0,$3=1—1+1=1，…，»=1—1+1—1+…+(—1)"“・易知，当料为奇数时，片=1;当〃为偶数时，片=0.所以没有极限，故原级数发散.••例3无穷级数工aq"=a+uq+acf+•••+aq"+•••・(3)n=0叫做等比级数(又称为几何级数)，其中dHO,q叫做级数的公比，试讨论级数(3)的敛散性.解如果山
7、工1,级数的部分和片二d+dq+・・.+M“j=竺竺1=_一旦1.当
8、q
9、v1时，limsn=lim,此时级数(3)收敛，且其和为亡当⑷>1时，limsn=oo,此时级数(3)发散.”Too如果
10、^
11、=1,则当q=l时，片二MTOO,因此
12、级数(3)发散；当q=-1时，级数(3)变为sn=d-d+d-d+…+(-1)"5.显然，为随着”为奇数或为偶数而等于G或为零，因此％的极限不存在，此时级数(3)也发散.2则该级数是收敛的.乂例如级例如级数齐综上讨论可知，等比级数Ya^-1当
13、g
14、vl时收敛，其和为当
15、qpl时发散.铝l_q3其公比q=?>l故该级数是发散的.2二、收敛级数的基本性质由上面的讨论可知，级数的收敛问题，实际上也就是研究它的部分和数列的收敛问题，因此，我们可以应用数列极限的有关知识來研究无穷级数的收敛与发散.从而可以得到收敛级数的一些基本性质.性质1如果级数绚+勺+禺…+冷+…收敛于和则它的各项同乘以一个常数。所得
16、的级数+au2+cuiy•••+aun+…也收敛,且其和为处・证设级数£>”与级数£叫的部分和分别为酥和近，贝ijn=ln=lSUaUn=M]+“2----n，S=+QU?+••・+n=%•由数列极限的性质知limq=limasn=as.即级数工叫收敛于as.舁Too”T8厶乎n=l性质2如果级数”和5?”都收敛，且其和分别为S•与（T,则级数/t=l/t=lOO工（冷土儿）=（旳±片）+（弘2±叫）+…+（%±儿）+・・・・也收敛，并且有工（冷±匕）=工冷土工匕•n==l证令为=£匕’/=!n==l人=£（坷±岭），则J=1J=1n=T”=±%)=ix±£叫=%土s,i=l/=!；
17、=1所以有lim町=lim(s〃±crJ=limsn±lim(Jn=s±(7.也就是说，工(冷±匕J收敛于s±a."Too7JT8舁一>8n—>oo厶呻132）3“-1••例4判别级数（1+1）++科+•…的敛散性.若收敛卫切丿n=时求出它的和•I1133?3一】解由于级数呜+*+・・・+£+・・・与吋+p…+牯+…都是公比小于1的等n-l(1+1)+<111、<3323”")1++-----卜
