《高等数学》第十章无穷级数(电子讲稿)

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1、第十章无穷级数在许多科学技术领域中,常常要求我们将无穷多个数或者函数相加,我们把这种和式叫做无穷级数.无穷级数是表示函数、研究函数性态以及进行数值计算的一种有效工具.无穷级数分为常数项级数和函数项级数,本章将先介绍常数项级数的概念及其敛散性的审敛法,然后讨论函数项级数,最后将着重讨论如何将函数展开成幕级数和三角级数的问题.第一节常数项级数的概念与性质一、常数项级数的基本概念设给定一个数列络,如,…血,…,用加号把这些项连结起來所构成的和的表达式“I+“2+…他+…(1)称为(常数项)无穷级数,简称(常数项)级数,记作=坷+“2+—+冷+…,级数的71=1第77项%通常称为级数的一般项或通项.8

2、]1118例女U—=1+—+—+…+—+…,5^(_1)拜=—1+1一]+1一・・・+(—l)n+…,仁5!2!3!n铝£“=1+2+3+…+〃+•••都是常数项级数.n=l上述级数的定义仅仅是一种形式上的定义,这种加法是否具有“和数”,这个“和数”的意义是什么?为了解决这个问题,我们先作(常数项)级数(1)的前n项和»二U,+W2,(2)i=ls”称为级数(1)的部分和.当川依次収1,2,3,…时,部分和又构成一个新的数列S2=气+%2,归+处+“3,…,》=+«2+•••+"“,…,即数列》归,…心,….把这个数列{»}称为级数的部分和数列(简称为部分和).W=1当趋于无穷大时,如果级数

3、的部分和数列{$」有极限$艮卩lim"1s“=s、则称无穷级数£冷收敛,并称极限$为级数的和,写成“终+处+••“+••••如果部分和数"二1列{»}没有极限,则称无穷级数£叫发散.W=1当级数收敛时,其部分和》是级数的和S的近似值,它们之间的差值n=lrn=s-sn=un+l+un+2+--称为级数的余项.用近似值代替和s所产生的误差是这个余项的绝对值,即误差是

4、乙

5、・••例1判别无穷级数工爪1+2+3+・・・+〃+…的敛散性.n=l解由于$”=1+2+…+2丛也,则lim$”=lim丛也=oo,所以该级数发散.2ZJT8"Too2••例2讨论级数1—1+1-1+・・・+(-1)心+…的敛散

6、性.解部分和数列山=1,52=1-1=0,$3=1—1+1=1,…,»=1—1+1—1+…+(—1)"“・易知,当料为奇数时,片=1;当〃为偶数时,片=0.所以没有极限,故原级数发散.••例3无穷级数工aq"=a+uq+acf+•••+aq"+•••・(3)n=0叫做等比级数(又称为几何级数),其中dHO,q叫做级数的公比,试讨论级数(3)的敛散性.解如果山

7、工1,级数的部分和片二d+dq+・・.+M“j=竺竺1=_一旦1.当

8、q

9、v1时,limsn=lim,此时级数(3)收敛,且其和为亡当⑷>1时,limsn=oo,此时级数(3)发散.”Too如果

10、^

11、=1,则当q=l时,片二MTOO,因此

12、级数(3)发散;当q=-1时,级数(3)变为sn=d-d+d-d+…+(-1)"5.显然,为随着”为奇数或为偶数而等于G或为零,因此%的极限不存在,此时级数(3)也发散.2则该级数是收敛的.乂例如级例如级数齐综上讨论可知,等比级数Ya^-1当

13、g

14、vl时收敛,其和为当

15、qpl时发散.铝l_q3其公比q=?>l故该级数是发散的.2二、收敛级数的基本性质由上面的讨论可知,级数的收敛问题,实际上也就是研究它的部分和数列的收敛问题,因此,我们可以应用数列极限的有关知识來研究无穷级数的收敛与发散.从而可以得到收敛级数的一些基本性质.性质1如果级数绚+勺+禺…+冷+…收敛于和则它的各项同乘以一个常数。所得

16、的级数+au2+cuiy•••+aun+…也收敛,且其和为处・证设级数£>”与级数£叫的部分和分别为酥和近,贝ijn=ln=lSUaUn=M]+“2----n,S=+QU?+••・+n=%•由数列极限的性质知limq=limasn=as.即级数工叫收敛于as.舁Too”T8厶乎n=l性质2如果级数”和5?”都收敛,且其和分别为S•与(T,则级数/t=l/t=lOO工(冷土儿)=(旳±片)+(弘2±叫)+…+(%±儿)+・・・・也收敛,并且有工(冷±匕)=工冷土工匕•n==l证令为=£匕’/=!n==l人=£(坷±岭),则J=1J=1n=T”=±%)=ix±£叫=%土s,i=l/=!;

17、=1所以有lim町=lim(s〃±crJ=limsn±lim(Jn=s±(7.也就是说,工(冷±匕J收敛于s±a."Too7JT8舁一>8n—>oo厶呻132)3“-1••例4判别级数(1+1)++科+•…的敛散性.若收敛卫切丿n=时求出它的和•I1133?3一】解由于级数呜+*+・・・+£+・・・与吋+p…+牯+…都是公比小于1的等n-l(1+1)+<111、<3323”")1++-----卜

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