最新第十章 无穷级数讲课讲稿.doc

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1、第十章无穷级数1．判断下列级数的敛散性：（1）（2）（3）解：（1）由，所以（）故原级数收敛，且其和为。（2）由而级数及均收敛，故原级数收敛。（3）由，（），故原级数发散。注：应用（1）中的技巧，可得对任何自然数，有：。2．判别下列级数的敛散性。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（）（7），其中，皆为正数，。解：（1）由（），又发散，故由比较判别法知，原级数发散。（2）由（），又发散，故由比较判别法的极限形式可知，原级数发散。（3）法1：，而及均收敛，故原级数收敛。法2：由，故原级数收敛。法3：由，而收敛，故原级数收敛。（4）由，而收敛，故级数收敛。（5）由

2、，故级数发散。（6）由故原级数收敛。（7）由（），当即时，原级数收敛；当即时，原级数发散；当时，不一定。例如：级数发散；级数收敛。3．若正项级数收敛，证明也收敛，其逆如何？证明：由收敛，故，则存在，当时，，从而当时，，故由比较判别法可知收敛。反之，不真。例如：，，级数收敛，而级数发散。4．若两个正项级数和发散，，两级数敛散性如何？解：一定发散。这是由于，而级数发散，故也发散。可能收敛，也可能发散。例如：级数及均发散，但收敛。又例如：级数及均发散，但也发散。5．若级数是收敛的正项级数，并且数列单调下降，证明：。证明：对于任意的及，不妨设，则，其中为该级数的余和。

3、由级数收敛，则任意的，存在，使得。又由，故存在（），使当时有所以当时，有，故。6．用积分判别法讨论下列级数的收敛性。（1）；（2）。解：（1）不论为何数，当充分大时，函数都是非负递减的，并且故当时原级数收敛，当时原级数发散。（2）由，当时是非负递减函数，而故原级数发散。7．讨论下列级数的敛散性（包括条件收敛或绝对收敛）：（1）（2）（3）（4）解：（1）所以原级数条件收敛。注：对原级数的通项进行适当的变形是必要的。（2）由，故原级数非绝对收敛。但由于，且（这是因为令，，当时，故单减）所以原级数条件收敛。（3）将原级数加括号所得的级数发散，故原级数发散。（4）法

4、1：由，而收敛，故原级数绝对收敛。法2：，故原级数绝对收敛。8．设收敛，收敛，则收敛。证明：由收敛，所以又所以由已知收敛，不妨设，所以故收敛于。9．设正项数列{}单调减少，且发散，试问级数是否收敛？并说明理由。证明：由，且，则存在。假设，由，则。又由于发散，所以（否则收敛）。因，且收敛，所以收敛。10．设，（），若级数，收敛，证明级数收敛。证明：由收敛，而其前部分和为，则存在。设，所以{}有界，即存在，，有：。又由，且级数收敛，故收敛。11．设，，且（），试证明若级数收敛，则级数也收敛。证明：由，，且（），则所以又级数收敛，所以级数也收敛。12．求幂级数的收敛

5、区间。解：因为，所以当时，级数，而，故发散当时，级数为Leibniz级数，收敛综上所述，级数的收敛区间为13．求幂级数的收敛区间。解：由，故原级数收敛区间为。14．展开为的幂级数，并推出。解：因为逐项微分得故，即。15．求函数的幂级数展开式，并推出其收敛半径。解：由，，逐项积分有：即其收敛半径为。16．求下列级数的和。（1）（2）解：（1）的收敛半径为1，收敛域为设，，则，，故，从而。（2）对级数，其收敛域为，设，，则令，，所以，故所以，。17．将宽度为，高为，周期为的矩形波展开成余弦级数。解：由题意为偶函数，且，则所以~。18．应当如何把区间内的可积函数延拓

6、后，使它展开成的Fourier级数的形状如下：~（）。解：令显然是偶函数，可展开成余弦函数又所以~，（）。大气压专题讲解精测大气压：托里拆利实验知识点总结:实验方法及注意：(1)一只手握住玻璃管中部，在管内灌满水银，排除空气，用另一只手的食指紧紧堵住玻璃管开口端把玻璃管小心地倒插在盛有水银的槽里待开口端全部浸入水银槽内时放开手指，将管子竖直固定当管内外贡液液面的高度差约为76cm时，它就停止下降，读出水银柱的竖直高度;1、下列现象不是利用大气压的是（　　）A、用吸管吸饮料B、医生用注射器给病人注射药液C、吸盘帖在光滑的墙面上D、墨水被吸进钢笔E、人体肺部吸气2

7、、做托里拆利实验，测得玻璃管内水银柱比槽内水银面高出76cm，下面的哪些措施可以使这个高度差改变（　　）A、往槽内加入少许水银B、使玻璃管稍微倾斜一点C、把玻璃管往上提一提D、把实验移到高山上去做E、将细管换成很粗的管子F、本实验器材从夏天放置到冬天G、将玻管顶端凿一个很小很小的孔H、试验时天气有晴转阴I、将试管压一压（但水银柱上方任有真空）J、在试管足够长时，将汞换成水题3题4题53、如图3所示，在小瓶里装一些带颜色的水，再取一根两端开口的细玻璃管，在它上面画上刻度，使玻璃管穿过橡皮塞插入水中，从管子上端吹入少量气体，就制成了一个简易的气压计。小明把气压计从

8、山脚带到山顶的水平地面上，玻璃管内水柱