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1、第十章无穷级数张俊飞主编第一节无穷级数的概念（1、2）教学目的：理解无穷级数及其收敛与发散的概念，会用Mathematica判断级数的敛散性。教学重点、难点：无穷级数的概念，利用Mathematica来判断级数的敛散性。教学形式：多媒体教室里的课堂讲授教学时间：90分钟教学过程一、引入新课无穷级数是研究函数的性质、表达函数以及进行数值计算的有力工具。无穷级数的理论丰富，应用也很广泛。通过例1-4的讲解，让学生对级数的概念有所认识。二、新授课第一节无穷级数的概念1.通过上述例题引出级数的概念：定义１ 设给定数列，把它们各项依次相加得到的表达式称为常数项无
2、穷级数，简称级数，记为，其中叫做级数的首项，第项叫做通项，也叫做一般项．我们可以从例题1的级数中看出首项为，通项为。那么从例题2-4的级数中的首项为？通项为？定义２ 设给定数列，把它们各项依次相加得到的表达式称为函数项无穷级数，简称级数，记为．其中叫做级数的首项，第项叫做通项，也叫做一般项．例１、例２和例３是常数项无穷级数，例４是函数项无穷级数．例２是下列函数项无穷级数的一般形式如果股票的每年红利为，市场的贴现利率为，求股票的价值Ｖ．因为第年的红利的现值为，故股票的内在价值Ｖ就是无限期红利现值的总和．可见，股票的内在价值是通项为的无穷级数．对于无穷级数
3、要研究如下问题：（1）常数项无穷级数是否趋向于某一常数？这个常数是多少？（2）函数项无穷级数是否趋向某一函数？这个函数是多少？（3）如何将某一函数表达成函数项无穷级数？（4）如何将某一常数表达成常数项无穷级数？2、无穷级数的敛散性我们可以通过对无穷级数有限项的和进行研究，观测它的变化趋势，由此来理解无穷级数多项相加的含义．如果为级数的前项部分的和，即，简称为部分和，显然当依次取１，２，３，时，部分和构成一个新的数列:把数列称为级数的部分和数列。定义3 当时,如果级数的部分和数列极限存在，其极限值为Ｓ，即则称级数收敛，且称Ｓ为它的和，记作。如果的极限不存
4、在，则称级数发散，发散的级数没有和．当级数收敛时，其部分和与级数的和S近似相等，它们的差S－称为级数的余项，记为例5 讨论几何级数（又称为等比级数）的敛散性。解 如果，则部分和为当时，，几何级数收敛；当时，，所以，几何级数发散；当时，，所以，几何级数发散；当时，这时级数成为其部分和为所以此时的极限不存在，级数发散。根据以上的讨论，可以得到几何级数的敛散性：当时，几何级数=收敛，且；当时，几何级数=发散．几何级数是一个重要的级数，记住其敛散性结论对今后的学习会有很大的帮助。例6 判定级数的敛散性．解 由于，得到级数的前项的部分和因为所以，级数发散．例7
5、判断级数的敛散性．解 该级数的前项的部分和 ．因为所以级数收敛。（第二节课）3、利用Mathematica来判断级数的敛散性通过以上的例子，我们了解到判断级数的敛散性问题，可以转化为求级数的部分和，以及求部分和的级限问题．因此，利用Mathematica软件中的求和语句Sum[]与求极限语句Limit[]，就可以方便地判断级数的敛散性．Mathematica软件中的求部分和语句可以给出和式的计算结果．例8 利用Mathematica软件判断级数的敛散性．解 （1）求级数的部分和In[1]:=Sum[1/((2n-1)(2n+1),{n,1,
6、n})]（2）求部分和极限由于部分和极限存在，所以级数收敛．Mathematica软件中的求无限和语句可以给出级数的计算结果．判断级数的敛散性，只要输入In[2]:=Sum[1/((2n-1)(2n+1),{n,1,Infinity})]则例２ 利用Mathematica软件判断级数的敛散性解In[1]:=Sum[Log[(n+1)/n],{n,1,Infinity}]则输出级数发散的提示Sum::"div":"Sumdoesnotconverge.More…Mathematica软件中的求和语句能够用于判断级数的敛散性，并且给出级数的和，有很强的实用
7、性．但是，为了进一步学习的需要，我们仍然应该了解级数的一些相关理论．三、小结1.级数的概念。2.级数的敛散性定义。3.用Mathematica判断级数的敛散性。有限项求和语句：Sum[xn,{n,s,m}]无限项求和语句：Sum[xn,{n,s,Infinity}]四、课堂练习书 习题10—11．判断下列级数的收敛性：2．判断下列级数的收敛性：五、课外作业：P218习题10-11.（1）（3）2.（2）（4）第十章无穷级数第二节无穷级数的性质与敛散性（3）教学目的：理解无穷级数的性质，会用无穷级数的性质判断级数的敛散性。教学重点、难点：无穷级数的性
8、质，敛散性的判定。教学形式：多媒体教室里的课堂讲授教学时间：45分钟教学过程一、引入新课由无穷
