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1、数学分析第十章无穷级数2.无穷级数的收敛与发散给定级数,将前项之和称为的前项部分和,或简称部分和.定义.若的部分和序列,当时,有极限,则称级数收敛,记称为级数的和;否则称发散.3.收敛的必要条件4.Cauchy收敛原理定理1.2.收敛的充要条件是:当时,对任意的自然数,.例3.证明:发散.5.收敛级数的性质定理1.3.若收敛,则收敛.注.反之不成立.定理1.4.若和都收敛,和分别为,则对任意实数,也收敛,和为.思考.若收敛,发散,能否推出发散?若发散,也发散,能否推出发散?定理1.5.若存在,使得,则与同时收敛或同时发散.注.改
2、动一个级数的有限项值,不改变级数的敛散性.定理1.6.若收敛,则在保持项的次序不变的条件下,任意加括号所形成的级数也收敛,且其和不变.注.收敛的级数可以任意加括号,但不能去括号.注.给定,生成级数,得到它的部分和序列.给定,一定可以找到级数,使得是的部分和序列.例6.讨论等比级数的敛散性.§2正项级数通项非负的级数称为正项级数.设是正项级数,.单调上升.要么有上界,要么.1.正项级数收敛的充要条件2.比较判别法定理2.1.设和是正项级数,且,使得.则(1)如果收敛,那么收敛;(2)如果发散,那么发散.例2.证明:当时,发散;当时
3、,收敛.思考题.证明:设是正项级数,且单调下降则收敛的充要条件是:收敛.例3.讨论下列级数的收敛性(1)(2)定理2.2.(比较判别法的极限形式)设和是正项级数,且,又设.则有下列结论(1)当时,与同时收敛或同时发散;(2)当时,如果收敛,那么收敛;(3)当时,如果发散,那么发散.例4.讨论的收敛性.3.Cauchy判别法定理2.3.设为正项级数.(1)若存在自然数及,使得只要，则收敛;(2)若存在自然数,使得只要,则发散.定理2.4.(Cauchy判别法的极限形式)设为正项级数,且.则(1)当时,收敛;(2)当时,发散;(3)
4、当时,不能由此法判别收敛性.例7.讨论的收敛性.4.d’Alembert判别法定理2.5.设为正项级数,且.(1)若存在自然数及,使得只要，则收敛;(2)若存在自然数,使得只要,则发散.定理2.6.(d’Alembert判别法的极限形式)设为正项级数,且,又设,.则(1)当时,收敛;(2)当时,发散;(3)当或时,不能由此法判别收敛性.推论.设为正项级数,且,又设.则(1)当时,收敛;(2)当时,发散;(3)当时,不能由此法判别收敛性.例9.设,讨论的收敛性.注.Cauchy判别法比d’Alembert判别法适用范围广.5.Ra
5、abe判别法定理2.7.设为正项级数,且,又设.则(1)当时,收敛;(2)当时,发散;引理2.1.设,则存在,使得当时,5.Raabe判别法定理2.7.设为正项级数,且,又设.则(1)当时,收敛;(2)当时,发散;注.当时,不能由此法判别收敛性.例如6.积分判别法定理2.8.设是正项级数.若存在上连续非负单调递减函数,满足则收敛的充要条件是:有界.§3任意项级数1.交错级数定理3.1.(Leibniz判别法)若满足(1)(2)则(1)收敛,(2)余和的符号与第一项的符号相同,且注.满足定理3.1中条件(1),(2)的级数,称为L
6、eibniz型级数.2.绝对收敛与条件收敛定义.若收敛,则称绝对收敛.若收敛,但发散,则称条件收敛.3.Abel判别法与Dirichlet判别法设有两组数和.令则有Abel变换式注.Abel变换式也称作分部求和式.引理3.1.(Abel引理)若单调,又的部分和式有界,即,使得则定理3.2.(Dirichlet判别法)若(1)单调,且;(2)的部分和有界,即,使得则收敛.注.Leibniz判别法是Dirichlet判别法的特例.定理3.3.(Abel判别法)若(1)单调,且有界,即,使得(2)收敛,则收敛.注.Abel判别法可由D
7、irichlet判别法推出.例3.若单调趋于,证明(1),收敛.,都收敛.4.绝对收敛级数与条件收敛级数的性质给定.定义显然和都是正项级数,并有注.若收敛,则要么和同时收敛,要么和同时发散.命题3.1.(1)绝对收敛的充要条件是:和同时收敛,(2)若条件收敛,则和同时发散.定义.给定级数.设是一一对应,即既是单射又是满射.令,并令称为的一个重排级数或更序级数.例5.给定,讨论它的一个重排级数定理3.4.若绝对收敛,则它的任何一个重排级数也绝对收敛,且重排不改变原级数的和.定理3.5.(Riemann定理)若条件收敛,则,都存在的
8、一个重排,使得收敛,且5.级数的乘法(1)正方形法(2)对角线法(1)正方形法(2)对角线法定理3.6.若与都绝对收敛,,,则由组成的级数,以任意方式排列都绝对收敛,且和为.注.对按对角线法排列所得级数,适当加上括号,得到级数其中,称为和的Cauchy乘积.例7
