工科数学分析无穷级数ch4-31幂级数

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1、第4章无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数付氏级数函数项级数2010年2月24日1南京航空航天大学理学院数学系第4章无穷级数第1节常数项级数第2节函数项级数第3节幂级数第4节Fourier级数2010年2月24日2南京航空航天大学理学院数学系讨论一类特殊、常见、最简单的函数项级数——幂级数研究:(1)幂级数的收敛问题;(2)怎样将一个函数用幂级数表示问题。第3节幂级数2010年2月24日3南京航空航天大学理学院数学系第3节幂级数3.1幂级数及其收敛性3.2幂级数的运算性质3.3函数展开为幂

2、级数3.4幂级数的应用2010年2月24日4南京航空航天大学理学院数学系3.1幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:注2010年2月24日5南京航空航天大学理学院数学系2.收敛性2010年2月24日6南京航空航天大学理学院数学系2010年2月24日7南京航空航天大学理学院数学系证明2010年2月24日8南京航空航天大学理学院数学系由(1)结论用反证法2010年2月24日9南京航空航天大学理学院数学系EX2.EX1.A2010年2月24日10南京航空航天大学理学院数学系EX1.解:由级数在一致收敛，一般项连续,可逐项积分2010年2

3、月24日11南京航空航天大学理学院数学系EX2.解：同理：2010年2月24日12南京航空航天大学理学院数学系几何说明收敛区域发散区域发散区域O2010年2月24日13南京航空航天大学理学院数学系定理3.22010年2月24日14南京航空航天大学理学院数学系定义3.1:正数R称为幂级数的收敛半径.（－R,R）称为幂级数的收敛区间.规定问题如何求幂级数的收敛半径?收敛域:2010年2月24日15南京航空航天大学理学院数学系A2010年2月24日16南京航空航天大学理学院数学系证明2010年2月24日17南京航空航天大学理学院数学系证

4、明2010年2月24日18南京航空航天大学理学院数学系2010年2月24日19南京航空航天大学理学院数学系则当定理2对于幂级数,若求幂级数收敛半径的根值法（检根法）：2010年2月24日20南京航空航天大学理学院数学系例1求下列幂级数的收敛半径与收敛域:解该级数收敛该级数发散2010年2月24日21南京航空航天大学理学院数学系2010年2月24日22南京航空航天大学理学院数学系发散收敛故收敛域为(0,1].2010年2月24日23南京航空航天大学理学院数学系解缺少偶次幂的项级数收敛,2010年2月24日24南京航空航天大学理学院数

5、学系级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为注2010年2月24日25南京航空航天大学理学院数学系EX.幂级数的收敛域为.2010年2月24日26南京航空航天大学理学院数学系总结求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.3)对非标准型幂级数(缺项或通项为（x－x0)n)求收敛半径时直接用比值法或根值法,也可通过换元化为标准型再求.2)对通项为（x－x0)n)的幂级数将1)的收敛域进行平移，使收敛域的中心在x0处.2010年2月24日27南京航空航天大学理学院数学系3.2幂级数的运算性质1.代数运

6、算性质:(1)加减法(其中定理3.42010年2月24日28南京航空航天大学理学院数学系(2)乘法(其中柯西乘积2010年2月24日29南京航空航天大学理学院数学系(3)除法2010年2月24日30南京航空航天大学理学院数学系2010年2月24日31南京航空航天大学理学院数学系????2.分析运算性质:2010年2月24日32南京航空航天大学理学院数学系定理3.5（内闭一致收敛性）若幂级数的收敛半径为,则在它的收敛区间内任一闭区间上,幂级数都一致收敛.如果幂级数的和函数为收敛半径则下述结论成立2010年2月24日33南京航空航天大

7、学理学院数学系（1）(和函数的连续性)定理3.62010年2月24日34南京航空航天大学理学院数学系（2）(逐项积分)(收敛半径不变)2010年2月24日35南京航空航天大学理学院数学系（3）(逐项求导)(收敛半径不变)2010年2月24日36南京航空航天大学理学院数学系推论k=1,2,…2010年2月24日37南京航空航天大学理学院数学系思考题解答不一定.例它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？2010年2月24日38南京航空航天大学理学院数学系例3解法1解法22

8、010年2月24日39南京航空航天大学理学院数学系解两边积分，发散.2010年2月24日40南京航空航天大学理学院数学系解收敛半径为注意：解方程也可用分离变量2010年2月24日41南京航空航天大学理学院数学系解注意:例52010年2月24日42南