A无穷级数33幂级数

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1、§3.幂级数一、函数项级数的概念定义：简称(函数项)级数。称为数集D(或区间I)上的函数项无穷级数，∴函数项级数可看成是一族常数项级数，从而可用数项级数的有关方法来研究函数项级数。收敛点全体称为它的收敛域。发散点全体称为它的发散域。∴对于中的每一点，不是收敛点就是发散点。对收敛域内任意一点x，函数项级数为一收敛的常数项级数，∴有一确定的和S,且与x有关。∴收敛域上函数项级数的和就是x的函数，记为S(x),称为函数项级数的和函数，其定义域就是（注意，与一般项un(x)的定义域不同）同样，例1.解：∴的收敛域为(-1,1)。例2.解：由例1,例3.在[0,1]的和函数。解：

2、（非un）1un(x)在[0,1]上连续，但S(x)在x=1处间断，S(x)的定义域小于级数的定义域,∴级数的收敛域一般小于或等于其定义域。二.幂级数及其收敛性定义：的级数称为幂级数。其中常数称为幂级数的系数,形如显然，幂级数的定义域为显然是幂级数的收敛点。幂级数是函数项级数中最常见且简单的一种，定理1（阿贝尔定理）其收敛域如何？证明：反证：若有一点x1,适合并使(*)收敛,则由(1)知,矛盾！即幂级数的收敛点与发散点不可能互相混杂。(1)收敛半径,记为R.(2)在收敛与发散点之间的分界点:上,幂级数可能收敛也可能发散，推论：(P.209)也不是在整个数轴上都收敛，则必

3、有一个完全确定的正数R存在，使得：则R=0,收敛区间,收敛域。若：证明：考察正项级数：由比值法：例题讨论求解下列幂级数的收敛半径，解：由定理2：收敛区间与收敛域。例：解：(-5,5)解：(用根值法)解一：用比值法解二:解：=R,解：用比值法：课外作业习题6—41（1,3,5,6,7）三.幂级数的运算1）加减法1.代数运算2)乘法3)除法2.分析运算性质1.幂级数的和函数在其收敛域内连续.性质2.幂级数的和函数在其收敛域内可导，且有逐项求导公式:（反复用上述结论，可知S(x)在收敛域内有任意阶导数）性质3.幂级数的和函数在其收敛域内可积，且有逐项积分公式：虽然收敛半径不变

4、，但在端点处的敛散性可能会改变。求积后所得幂级数的收敛域不小于原级数的收敛域。一般，求导后所得幂级数的收敛域不大于原级数的收敛域。例：用逐项求导或逐项积分的方法，可求得一些级数在收敛域内的和函数。例题讨论解：不必先求收敛域，在求和函数的过程求下列幂级数的收敛域与和函数：中可求得收敛域。先逐项求导：先逐项积分：可见，关键在于求导或积分后所得的幂级数能写出和函数。写出和函数时要注意：01-x1先求积消去(2n-1)先求导，？x0先求导后积分时要判别端点处的敛散性。课外作业习题6—42（1，2，3，4）