无穷级数(数项级数 幂级数)

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1、无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义称为一般项或通项称为前n项部分和例1、2、定义如收敛，则收敛3、几个重要级数等比级数（几何），当收敛，发散；P级数收敛，发散；当，又称调和级数。4、级数性质性质5是级数收敛的必要条件即收敛例1、发散，∵例2、发散，∵例3、发散，但20正项级数判别法正项级数部分和数列单调递增∴正项级数收敛部分和数列有上界1、比较判别法设，如收敛，则收敛如发散，则发散例、判别下列级数敛散性（1）（2）解（1）由于∵发散，∴原级数发散（2）由于，而收敛，∴原级数收敛比较判别法的极限形式如

2、则有时，，同时收敛，同时发散A=0如收敛，则收敛A=+∞如收敛，则收敛判别下列级数敛散性例、又发散，∴原级数发散例、（1）（2）（3）解：（1）由（2）∵收敛∴原级数收敛（3）∵∵发散，∴发散2、比值判别法设正项级数的一般项满足则当时，级数收敛，时发散，不定3、根值法设为正项级数，如则当时，级数收敛，时发散，不定正项级数判别其敛散性的步骤：需进一步判别发散首先考察①如中含或的乘积通常选用比值法；②如是以为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法；③如含形如（α可以不是整数）因子，通常用比较法；④利用级数性

3、质判别其敛散性；⑤据定义判别级数敛散性，考察是否存在，实际上考察是否有上界。例、判别下列级数的敛散性（1）（2）（3）设（4）（5）（6）（7）（8）解：（1）收敛（2）方法一：收敛方法二：∵收敛∴原级数收敛∴级数收敛收敛（3）当发散发散为公比的等比级数∴收敛（4）∵∵收敛，∴原级数收敛（5）∴对∵∴收敛，又由比较判别法知原级数收敛（6），由此值法知收敛∴原级数收敛3°交错级数的敛散性的判别法如，则称为交错级数。莱伯尼兹判别法：如交错级数满足：(i)(ii)则收敛，且和例、判断下列级数的敛散性。1解：①②

4、∴收敛2.解：①∵②∴即∴收敛4°绝对收敛与条件收敛定义P275为任意项级数如收敛称绝对收敛如发散收敛称条件收敛定理，如收敛→必收敛例、判断级数的敛散性，如收敛，是绝对收敛还是条件收敛(1)(2)解：(1)∴原级数收敛，且绝对收敛。解：(2)原级数绝对收敛①②原级数发散原级数为为交错级数收敛而发散∴条件收敛幂级数10定义，具有下列形式的函数项级数称为幂级数((令即上述形式))取为常数项级数，如收敛，其和为为常数项级数，如收敛，其和为为和函数,,总收敛对幂级数主要讨论两个问题（1）幂级数的收敛域（2）将函数

5、表示成幂级数幂级数的收敛域具有特别的结构定理：（i）如在收敛，则对于满足的一切都绝对收敛（ii）如在发散，则对于满足的一切发散20幂级数的收敛半径及其求法定理：如幂级数系数满足则（1）（2）（3）注意：当的敛散性不能确定，要讨论例1：求下列幂级数的收敛域（1）（2）（3）（4）解：（1）故当原级数为为交错级数，满足¬∴收敛当原级数为发散∴收敛域为解（2）由于∴故收敛域为解（3）∴当原级数为发原级数为为交错级数满足（1）（2）设，当，，∴单调减，∴故收敛∴收敛域为[-1，1）解（4）令∴当原级数为∴发散同理

6、级数也发散∴收敛域20幂级数的性质求幂级数的和函数：利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式，即化到公式：在端点的敛散性与α有关。例、求下列幂级数的和函数1、2、解1、R=1，x=±1，un→0，∴收敛域为（-1，1）令（-1，1）解2、收敛域（-∞，+∞）令故，例、利用计算幂级数的和函数，求下列级数的和解：记：（-1，1）∴30将函数展开成幂函数1、泰勒级数与麦克劳林级数设函数在的某邻城内具有任意阶导数，则级数称为在点的泰勒级数特别当，则级数称为的麦克劳林级数2、函数展开成泰勒级数的条件

7、能展开成泰勒级数：收敛于在，之间3、幂级数展开式的求法方法1、直接法：计算证明：及方法2、间接法：利用已知的幂级数展开式，通过变量代换四则运算，逐项求导逐项积分待定系数等方法及到函数的展开式。例将下例函数展开成的幂函数⑴⑵⑶⑷解⑴解⑵解⑶其中，∴（如，如，）解⑷其中例设有两条抛物线和记它们交点的横坐标的绝对值为⑴求这两条抛物线所围成的平面图形的面积⑵求级数的和解：得∵所围平面图形对称y轴