函数项级数,幂级数

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1、第十一章函数项级数、幂级数§1.函数项级数的一致收敛性1.讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性：⑴,⑵i)ii)⑶⑷i)ii)⑸i)ii)⑹⑺i)ii)iii)⑻⑼⑽⑾第9页共9页⑿i)ii)1.设定义于，令.求证：在上一致收敛于.2.参数取什么值时，在闭区间收敛？在闭区间一致收敛？使可在积分号下取极限？3.证明序列在闭区间上收敛，但4.设是上的连续函数列，且在一致收敛于；又，满足，求证5.按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性：⑴⑵.6.设在上有界，并且在上一致收敛，求证：在上一致有界.7.设在内有连续的导数，且求证：在闭区间上，一致收敛于.8.设

2、在上黎曼可积，定义函数序列第9页共9页求证：在上一致收敛于零.1.设在内一致收敛于，且.证明：和存在且相等，即.2.讨论下列函数项级数的一致收敛性：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽第9页共9页⑾1.讨论下列函数项级数的一致收敛性：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻2.设每一项都是上的单调函数，如果在的端点为绝对收敛，那么这级数在上一致收敛.3.证明级数关于在上为一致收敛，但对任何并非绝对收敛；而级数虽在上绝对收敛，但并不一致收敛.4.若的一般项并且在上一致收敛，证明在上也一致收敛且绝对收敛.第9页共9页§2.幂级数1．求下列各幂级数的收敛域.⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀第9页共9页

3、⒁⒂⒃1．设幂级数的收敛半径为，的收敛半径为，讨论下列级数的收敛半径：⑴；⑵；⑶.2．设︱︱≤M，求证：当0＜＜时，有⑴收敛；⑵.4.设当︱︱＜时收敛，那么当收敛时有，不论当时是否收敛.5.利用上题证明.6.用逐项微分或逐项积分求下列级数的和：第9页共9页⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;⑺;⑻;⑼;⑽.4.求下列级数的和：⑴;⑵.5.证明：⑴满足方程；⑵满足方程.第9页共9页4.设是幂级数在上的和函数，若为奇函数，则级数中仅出现奇次幂的项；若为偶函数，则级数中仅出现偶次幂的项.5.设.⑴求证：在连续，在内连续；⑵求证：在点可导；⑶求证：；⑷求证：在点不可导.

4、11.利用基本初等函数的展式，将下列函数展开为麦克劳林级数，并说明收敛区间.⑴;⑵⑶⑷;⑸;⑹⑺;⑻⑼⑽;⑾⑿第9页共9页⒀⒁11.利用幂级数相乘求下列函数的麦克劳林展开式：⑴⑵;⑶12.将下列函数在指定点展开为泰勒级数：⑴⑵⑶;⑷13.试将展开成的幂级数.14.展开为的幂级数，并推出15.设函数在区间内的各阶导数一致有界，即存在＞0，对一切，有,证明：对内任意点与，有第9页共9页