函数展开成幂级数

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1、两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数一、泰勒(Taylor)级数其中(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.则在复习:f(x)的n阶泰勒公式若函数的某邻域内具有n+1阶导数,该邻域内有:为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,定理1.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式余项满足:证明:令设函数f(x)在点x0的某一邻域

2、内具有定理2.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:设f(x)所展成的幂级数为则显然结论成立.二、函数展开成幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为0.骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式的函数展开例1.将函数展开成x的幂级数.解:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足故(在0与x之间)故得级数例2.将展开成x的幂级数.解:得级数:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满

3、足对上式两边求导可推出:例3.将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.解:易求出于是得级数由于级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,推导推导则为避免研究余项,设此级数的和函数为称为二项展开式.说明：(1)在x＝±1处的收敛性与m有关.(2)当m为正整数时,级数为x的m次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.由此得对应的二项展开式分别为例3附注2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数展开成x的幂级数.解:因为把x换成,得将所给函数展开成幂级数.例5.将函数展开成x的幂级数.解:从0到x积分,得定义且连续,域为利用此题可得上式右

4、端的幂级数在x＝1收敛,所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛例6.将展成解:的幂级数.例7.将展成x－1的幂级数.解:内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.当m=–1时思考与练习1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示:后者必需证明前者无此要求.2.如何求的幂级数?提示:思考题1.将下列函数展开成x的幂级数解:x1时,此级数条件收敛,因此2.将在x=0处展为幂级数.解:因此将函数展开成x的幂级数，并求其收敛域(9分).(2014级期末考试题)

5、3.将函数展开成x的幂级数，并求其收敛域(10分).(2015级期末考试题)4.提示：将函数展开成x的幂级数，并求其收敛域(9分).(2014级期末考试题)3.将函数展开成x的幂级数，并求其收敛域(10分).(2015级期末考试题)4.提示：或