函数项级数和幂级数

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1、第十章函数项级数引言本章将数项级数进一步推广，引入函数项级数。类比数项级数，要解决的主要问题是：对什么样的，有意义，在有意义的条件下，对应的和函数具有什么样的分析性质以及如何计算和函数。§1函数项级数及其一致收敛性一、定义我们先给出函数项级数的定义。给定实数集合X，设，是定义在上的函数，称无穷个函数的和为函数项级数，记为其中：称为通项，为部分和，也称为的部分和函数列。类似于数项级数，必须讨论无限和是否有意义的问题，显然，这和x点的位置有关，为此，先引入函数项级数的点收敛性。定义1.1设，若数项级数收敛，称在点收敛。否则，称在点发

2、散。注、显然，在点收敛，等价于函数列在点收敛，即数列收敛。390注、定义给出了函数项级数在一点的收敛性，也称点收敛性，进一步可以将点收敛性推广到区间或集合收敛性。定义1.2若，收敛，则称在上收敛。此时，，都有意义，记，称为的和函数。注、在上收敛是局部概念，等价于在中每一点都收敛。注、在上收敛，等价于函数列在上收敛。显然，在收敛的条件下，有。例1讨论函数项级数在上的收敛性，并在收敛的条件下求其和函数。解、任取，考察数项级数。由根式判别法可知：，可知绝对收敛，因而收敛，由的任意性，则，在收敛。利用等比数列的求和公式，则，因而，。通过

3、例1可知，借助于数项级数的收敛性，可以研究函数项级数的收敛性。与函数项级数相类似的研究对象是函数列，函数项级数与函数列390可以相互转化，事实上，给定函数项级数，得到对应的部分和函数列，而的敛散性也等价于的敛散性。反之，给定一个函数列，令，，得函数项级数，使得的部分和正是。二者的敛散性也等价。因此，可以将视为与等价的研究对象，因而，在后续的研究中，只以其中的一个为例引入相关的理论，相应的理论可以平行推广到另一个研究对象上。下面，我们继续以函数项级数为例引入相关理论。我们将函数项级数与数项级数进行简单的对比，可以发现：二者的形式上

4、的区别在于通项结构上，数项级数的通项是仅与位置变量有关的常数，而函数项级数的通项是与位置变量有关的函数，正是这些简单的区别，却决定了函数项级数的研究内容要比数项级数的内容更加丰富，即除了研究“点”收敛之外，还要研究对函数的运算（如极限、微分、积分等）能否由有限过渡到无限，函数的性质（如连续性、可微性等）能否由有限过渡到无限，如：已知成立有限和的函数极限的运算性质这个性质能否过渡到对无限和的函数运算也成立，即成立，这实际是两种运算――求和和求极限的换序运算问题。再如对有限和成立的微分和积分运算性质，，能否过渡到对无限和的运算也成立

5、。再如，在收敛的情况下，和函数是否一定继承每个相应的性质，如每个，是否成立？有例子表明，不加任何条件，上述提到的问题的答案都是否定的，如：令390，，则在收敛，且，故，显然，或，但或。当然，否定的结论不是我们希望的结论，因此，为使得保持更好的性质，必须引入更好的收敛性。事实上，从的点收敛的定义也可以看出其局限性，设在集合X上收敛，则对任意的，和在点收敛，由Cauchy收敛准则：对，使得当时，，对成立，或，对成立，显然，对不同的，也不同。正是由于在收敛的条件下，强烈依赖于x，显示了强烈的局部性质，使得每个的性质很难延伸到和函数上，

6、也使得一些运算很难推广，要解决这些问题，关键是能否找到一个公共的，使得上式对所有都成立？这就是将要引入的一致收敛性。二、一致收敛性定义1.3设在上有定义，如果，，当时，，对，成立，390则称在上一致收敛。也可用部分和函数列引入等价的定义。定义1.4给定函数列，若，，当时，，对，成立，则称在上一致收敛。如果知道和函数，还可利用和函数定义一致收敛性。定义1.5设（）在上收敛于，若，，当时，，（）对成立，则称（）在上一致收敛于，记为（），在上。注、一致收敛是整体概念。注、一致收敛的几何意义：等价于当n>N时，函数曲线都落在曲线和之间。

7、例2证明：在一致收敛。证明：1）、计算和函数。任取，则，故，。3902）、判断及验证。由于，故，，，当时，，对成立，因而，。注、类似于数列极限证明的放大法，证明也是利用放大法得到的一个与x无关且单调递减收敛于0的界G（n）,即如下估计：。将上述证明思想抽取出来，得到如下判别法：推论1.1设存在数列：，使得，，则在上。再引入一个较弱的概念。定义1.6设为一区间，若，，称在上内闭一致收敛于。显然，一致收敛性远强于点收敛性。正是如此，才保证一致收敛条件下和函数能继承很好的性质，也能保证函数性质由有限到无限的过渡。在研究这些性质之前，先

8、给出一致收敛性的一个充要条件。以为例：定理1.1设在X上点收敛于，记，则，当且仅当。证明：充分性设,则，，当时，390.又，，故时，，都有，故，，。必要性设，则，，当时，，，故,,因而,.注、对任意的n，是一个与x无关的量。注、定理1.1的思想是将一致收敛的判断