幂级数的和函数

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1、幂级数的和函数一、幂级数的运算：∞∞nn设∑axn⋅与∑bxn⋅两个幂级数，收敛半径分别为R1,R2,则在它们n=0n=0的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∞∞∞nnn∑∑λμaxnn⋅±⋅bx=∑()λμabnn±xnn==00n=0其中λ、μ为常数。当R≠R时，上式的收敛半径为12R=min{RR12,}ii乘法和除法：∞∞∞nnn∑∑∑axnn⋅=bxcx0nnn===000其中cannn=01ba++b−1⋅⋅⋅+anb1二、和函数：∞∞n设nSx()=∑axn∑axn的收敛半径

2、为R(R>0)，为和函数，则有以下性质n=0n=0成立i和函数在（-R,+R）内可导，并且有逐项求导公式：∞∞nn−1Sx′′()(==∑∑axnn)naxnn==00且，同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。ii由此，和函数S（x）在（-R,+R）内任意次可导，并有逐项求导公式：∞()kn()kSx()(=∑anx)n=0∞nk−=−∑nn(1)(2n−)(⋅⋅⋅nk−+1)axnn=0它的收敛半径仍然为R。iii在（-R,+R）内逐项积分公式成立xx∞∞nnan+1∫∫Stdt()==∑∑atdtnx0

3、0nn==00n+1并且，逐项积分后收敛半径也不变∞iv若幂级数n∑axn在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n=0∞n（A）lim()Sx=∑aRnxR→−n=0∞nlim()Sx=−∑aRn()xR→+n=0（B）可以在[0,R]或者[-R,0]上逐项积分，即：R∞ann+1∫Sxdx()=∑R0n=0n+10∞−ann+1∫Sxdx()=−∑()R−Rn=0n+1（C）逐项求导之后的级数∞∞nn−1Sx′′()(==∑∑axnn)naxnn==00在X=R(-R)处可能发散。∞（D）若n∑axn在X

4、=R(-R)处发散，则逐项n=0求导之后的级数在X=R(-R)一定发散。∞（E）若n∑axn在X=R(-R)处发散，则逐项n=0求积分之后的级数xx∞∞nnan+1∫∫Stdt()==∑∑atdtnx00nn==00n+1在X=R(-R)可能收敛。三、和函数的性质：∞n（1）性质1：设幂级数∑axn的收敛半径为R（R>0），n=0则其和函数S（x）在区间（-R,+R）连续，如果幂级数在X=R或者-R也收敛，则其和函数在R或者-R也连续。（2）性质2：和函数求导公式（3）性质3：和函数求积分公式四、幂级数的

5、求和：第一.步：经过适当变性，对和函数求导。第二.步：然后对导函数求积分。第三.步：确定和函数的定义域（根据和函数性质（1））五、补充知识：12n（1）=++1(xx+⋅⋅⋅+x+⋅⋅⋅−<<1x1)1−x12nn（2）=−+1(xx−⋅⋅⋅+−1)x+⋅⋅⋅−<<(1x1)1+x