幂级数收敛域和函数

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1、无穷级数第三节幂级数第三节幂级数一.函数项级数1.定义函数项级数是定义在区间I上的函数列在I中任取一点,就得到一个数项级数收敛,收敛点发散,发散点函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域2.收敛域3.和函数：在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x，因此其和是x的函数，称为和函数4.余项:前n项的部分和在收敛域内才有意义,且二.幂级数及其收敛性幂级数各项都是幂函数的函数项级数一般形式:特例系数(1)(2)主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2)1.幂级数的收敛域x=0时(2)收敛,一般的,幂级数收

2、敛域是一区间.例由等比级数的性质,时收敛,时发散则收敛域(－1,1)内定理1(阿贝尔定理)如果：1.在点收敛,则当时，它绝对收敛2.在点发散,则当时，它发散.推论设存在非零的收敛点,又存在发散点,则存在R>0,使得当

3、x

4、

5、x

6、>R时它发散注:三种收敛情形:(1)仅在x=0处收敛;(2)在内处处收敛;(3)在(－R,R)内收敛,端点另外讨论收敛区间R—收敛半径R=0R=+∞2.收敛半径的求法定理2(证明略)例求收敛半径和收敛域x=1时收敛；x=－1时收敛域是(－1，1]发散收敛域是(

7、－∞，∞）仅在x=0点收敛设x－2＝t,由(1)知收敛域是(1,3]收敛域是(－1,1]令t=3时t=－3时发散发散收敛域是(－3,3)收敛域是缺少偶次项,无法用公式，可以用比值法求Rρ<1时,收敛.ρ<1时,发散.则收敛区间为时,发散.注:缺少奇次项,也可以用此方法.三.幂级数的运算性质1.四则运算性质设收敛半径分别为和,记则对于任意的,有利用乘法可以定义除法则注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多2.分析运算性质设收敛半径为R,则(1)S(x)在收敛域内连续;(2)S(x)在(--R,R)内可导,

8、且即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数收敛半径不变.可推广到任意阶导数(3)S(x)在(--R,R)内可积,且即幂级数在(-R,R)内可以逐项积分,所得到的幂级数收敛半径不变.注意:(2),(3)中端点需要另外讨论.例求和函数设和函数为S(x)(

9、x

10、<1)设和函数为S(x)则练习