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时间：2018-07-27
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1、第八章幂级数1．判断下列幂级数的收敛域（1）（2）解：（1）这是不缺项的幂级数，可按公式来做。，所以收敛半径R=3，收敛区间为。在处，级数为，收敛。在处，级数为，发散。故收敛域为（2）这是缺项的幂级数，按数项级数判别法来做。。当，即时，幂级数收敛。当时，，从而，幂级数发散。当时，原级数成为，发散。该幂级数的收敛域为，收敛半径为。2．将函数展开成幂级数。解：，再逐项积分但在处，右边级数收敛，所以和函数在处连续。而在处连续，于是所以有。注：展开式在开区间内部可以逐项积分，逐项求导。但由此得到的信新的展开式在端点处是否成立？要检查：若
2、端点处级数收敛，被展开的函数在该端点连续（左端点处右连续，右端点处左连续）。1．求幂级数的收敛域，并求其和函数。解：，所以收敛半径R=2。在处，发散，在处，收敛，故幂级数的收敛域为。记，则，由逐项求导可得两边从0到积分，即，故,其中时的值来源于原始级数。由于幂级数的逐项积分，逐项求导只能在收敛区间（开区间）内进行，所以上述右边的区间写的是开区间。但是处原级数收敛，并且在连续，故在亦成立，即有1．设，试将展开成的幂级数，并求级数的和。解：在处，上述级数收敛，在处亦连续，可知。于是但时，上述右边级数收敛于，故。因此。
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