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《浅议幂级数逐项积分_逐项微分后的收敛域》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、济南大学学报JOULOFJ!UR!V引TY了991(第二期)R浅议幂级数逐项积分、逐项微分后的收敛域卞瑞玲:如果幂级数OOanx”=aoa:xaxanx”艺……(1)n·0一,,一,R、的收敛区间是(R)则将幂级数(1)在(RR)内逐项积分逐项微分后所得的幂:级数分别为凶n+!ù刀J”x1=a一x+白9忍+x。旦-nx”+艺一X十二+……(2n+1子I1n二口0OOn”一n”一艺nax1=a工+ZaZx+3a3x2+…+nax1+……(3)·n0、一,。并且幂级数(2)(3)的收敛区间也是(RR)、,以上说明
2、幂级数(2)(3)与幂级数(l)的收敛区间是相同的这是数学分析教材与。,主要参考书中都要给出的结论但对于它们的收敛域有什么关系在数学分析教材及参,。考书中并没有进行讨论于是本文对此浅议一下:一,,首先把幂级数的收敛域的概念简述一下如果幂级数(1)的收敛区间是(RR)。:一,、一、、则它的收敛域是收敛区间加上收敛端点所构成的集合即为(RR)〔RR)(一、、一、。RR〕〔RR〕这四个集合其中之一、。一幂级数(1)的收敛域与幂级数(2)的收敛域之间的关系:一,,一,。命题l若幂级数(l)的收敛域是〔RR〕则幂级数(
3、2)的收敛域也是〔RR〕’:一,,证明:幂级数(1)的收敛域是〔RR〕:一,,.’由幂级数的一致收敛性定理知幂级数(1)在〔RR〕上一致收敛:,一,由函数项级数和函数的可积性知幂级数(1)的和函数在〔0R〕和〔R的上可积,,即:并且可逐项积分Rscon+:(艺a。x”)dx=艺早午R11+1n二n.00(一”+`岁an“=一一一(d艺粤RI11+L一Rn二0n一0一,一,。于是幂级数2在(R和R点都收敛即幂级数(2)的收敛域也是〔RR〕证毕1一,命题的逆命题不成立!即若幂级数(2)的收敛域为〔RR〕则幂级数(
4、1)的收一,。:敛域不一定是〔RR〕例如一1,而x(不的收敛域是〔1)XC,口f(=一1,1t)dt乏五矛孟认厂的收敛域是〔〕.n1,由以上可知将幂级数逐项积分后得到的幂级数的收敛域大于或等于原幂级数的收。敛域、。二幂级数(1)的收敛域与幂级数(3)的收域敛之间的关系2:一,,一,命题若幂级数(3)的收敛域为〔RR〕则幂级数l()的收敛域也是〔RR〕:。证明先证幂级数(3)在R点收敛的情形:由幂级数(3)在R点收敛知数项级数”一····nan”一`=a:+Za:十:Z十na。`十。乏RRa3R…R…收敛n=1
5、…nnaR(naR)一岁一岁一书1“n二I1、矛.、二Rn、nan”一`,JL一.JR.收敛数列一单调有界一,。。。<、,,2,R誉一:.由阿贝尔判别法知:nR勺na”一1一,(R).ùn一收敛n·1an”。即乏R收敛n·1an”an”,万RR只相差一个常数项n一1an”,…乏R也收敛·n0。即幂级数()在R点收敛,一,一。同理可证幂级数(3)在R点收敛时幂级数(1)在R点也收敛。证毕一,,命题2的逆命题不成立!即若幂级数(l)的收敛域是〔RR〕则幂级数(3)的收一,,:敛域不一定是〔RR〕例如C勺一,,`’
6、x的收敛域为〔f()三杀n·1C.Oxn一1尸、于x=。x=1f()目曰但创在点发散.n-n闪三xn一1一,。的收敛域为〔11),由以上可知将幂级数逐项微分后得到的幂级数的收敛域小于或等于原幂级数的收。敛域,,以上的讨论都是以收敛域为闭区间时进行讨论的对于收敛域为半开半闭区间时,。可同样地进行讨论这里不再重述(上接第82页)an仪n一1。:·比较系数得p“=a,+~+般地a一+aZ++annP硕飞心一…(万n一m+lnpm二a:干议百千认;n+anmz:下面验证{p}满足Toeplit定理的三个条件仪n~m+
7、1an一m+1i)nm二曰州卜0m固定时O《pa:+a:++anal+aZ+干玉蔽不)一…(n,。)n,+n:++nm11)IpIlp1…}pl二j(有界)1im111)n`nn*coPn二Pnx十PZ十二+pm=iToeplitz,1imn1imxn二根据定理n*coy.州净Sn00
