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《关于幂级数逐项积分积分下限讨论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、关于無级数逐项积分积分下限讨论摘要：求幕级数和函数的方法与技巧是多种多样的，它的难度较大、技巧较髙，对学生来说是一个难点，其中利用逐项积分法计算幕级数和函数的方法，学生在学习时，对积分下限选为0感到困惑，本文讨论了积分下限选为0的原因和积分下限的选取范围。Abstract：Methodsandtechniquesofcalculatingpowerseriesandfunctionarediverse.Itisamoredifficultandhigherskillfultaskforstudents.Inthemethodforcalculatingt
2、hepowerseriessumfunction,thereisaninterestin£methodofusingthetermwiseintegration.Thestudentsareconfusedaboutthelowerlimitoftheintegralselectedas0inthismethod.Thisarticlediscussedthereasonsofthelowerlimitofintegrationisselectedas0andtheselecttingscopeofthelowerlimitofintegration.关
3、键词：逐项积分；和函数；积分下限Keywords：termwiseintegration；sumfunction；thelowerlimitofintegrotion中图分类号:0172文献标识码：A文章编号:1006-4311(2014)09-0213-020引言级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质,也是进行数值计算的一种工具，它在自然科学、工程技术和数学本身都有广泛的作用。無级数是数学分析的重要概念之一，是一类最简单的函数项级数，在幕级数理论中，对给定幕级数分析其收敛性，求收敛無级数的和
4、函数是重要内容之—o但学生往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材中对这一问题讨论较少，仅有一两个例题，使得学生对無级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。很多专家学者研究了幕级数的求和问题，如邓俊兰和李鑫的《無级数求和函数的类型与解法》［1］,孙艾明的《利用解微分方程求無级数的和函数》［2］,彭凯军，孙胜先，苏灿荣的《利用微积分算子求幕级数的和函数》［3］等。学生在学习用逐项积分方法求未知幕级数和函数时，对积分下限的选取存在困惑，目前这一问题的讨论甚少，本文的研究就是针对这一问题。1無级数・a・x■求和的逐项积分法形如(x-x■)■=aH
5、+aH(x-x■)+a・(x-x■)■+…+a・(x~xH)■+…或■a・x■二a0+alx+a2x2+…+anxn+…的函数项级数称为無级数。已知幕级数・a・x■的和函数，用逐项积分法求未知彖级数的和函数时，其方法和步骤如下［4］：设幕级数-Q-X■在收敛区间(-R,R)上的和函数为f(x),若x为(-R,R)上任意一点，则f(x)在0与x之间的这个区间上可积，且・f(t)dt=HHxHo由此，若已知■a・x■二f(x),xW(-R,R),用逐项积分法求幕级数・・x■的和函数S(x)的步骤：①将所求無级数通过逐项求导后整理为已知和函数的無级数，即S'(
6、x)二■■x・‘二■■x・‘二・a・x■二f(x),其中XG(-R,R);②通过逆运算，求出所求潟级数的和函数。即・・x■二S(x)-S(0)=BS/(x)dt=Bf(t)dt,其中xU(-R,R)；③验证x=R和x二-R处的敛散性，从而得到所求潟级数的和函数。2逐项积分法使用中的两个问题首先，已知無级数・a・x■的和函数，用逐项积分法求未知無级数的和函数时，积分上下限的选取问题。两个问题：1、积分下限为什么选取为0；2、积分下限还可以在什么范围选取？对于问题1,原因有两个，原因一：由微积分学基本定理(原函数存在定理)［4］知若f(x)在［a,b］上连续
7、，则由①(x)二・f(t)dt,xe［a,b］所定义的函数①(x)在［a,b］上处处可导，且①'(x)=■If(t)dt=f(x),xW［a,b］o这样①(x)为f(x)的一个原函数，・f(t)dt二①(x)-①(&)。如果①(a)=0,则・f(t)dt二①(x)o幕级数・a・x■的和函数f(x)是收敛区间(-R,R)上的连续函数，且・・x■二S(x),如果S(0)=0,则S(x)=Hf(t)dto在利用逐项积分法求幕级数的和函数的大多数情况，有S(0)=0,即S(x)=・f(t)dt,故通常情况下，选取积分下限为0。原因二：由阿贝尔定理知無级数的收敛区
8、间是以原点为中心的区间(-R,R)。只要积分下限选为0,对任意的xe(-R,R)
