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1、注意：对于级数，当收敛时，绝对收敛.例证绝对收敛：令，则收敛收敛故原级数绝对收敛.§7.5幂级数教学目的：弄清幂级数的相关概念；掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域定义与求法；掌握幂级数的性质，能灵活正确运用性质求幂级数的和函数.重难点：掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法；掌握幂级数的性质，能灵活正确运用性质求幂级数的和函数，以及常数项级数的和.教学方法：启发式讲授教学过程：一、函数项级数的概念1．【定义】设是定义在区间上的函数,则称为定义在区间上的(函数项)无穷级数.2．收敛域(1)收敛点——常数项级数收敛；(2)发散点—
2、—常数项级数发散；(3)收敛域——函数项级数的所有收敛点形成的集合；14(4)发散域——的发散点的全体构成的集合.3．和函数——,.若函数项级数在收敛域内每一点都对应于的一个函数值，则称为函数项级数的和函数.4．余项——,,.注:①只有在收敛域上,才有意义；②,.二、幂级数及其收敛半径和收敛域1．【定义】形如的函数项级数称为的幂级数.（也称为一般幂级数），其中为常数，称为幂级数的系数.当时,称为的幂级数（也称为标准幂级数）,其中常数（）称为幂级数的系数.结论：对于级数，作代换可以将一般幂级数化为标准幂级数，所以我们只研究标准幂级数敛散性
3、的判别方法.的收敛域：此级数的全体收敛点的集合.显然:(收敛域)，即幂级数总在点处收敛.14例如:,均为幂级数.显然:的收敛域,其发散域.且和函数.此结论可当公式使用.2.级数的收敛域把级数的各项取绝对值得正项级数，记，则；于是由比值判别法知（1）若，即，绝对收敛.(2)若，即，发散.(3)若，即，比值法失效，敛散另行判定.（4）若，即，此时对任意，收敛.上述分析显示级数在一个以原点为中心，从到的区间内绝对收敛，区间称为幂级数的收敛区间，为收敛半径.若级数仅在点收敛，则规定，级数的收敛域为例如级数14由于，∴级数收敛域为或；独点集.若对
4、任意都收敛，则，级数的收敛域为.当时，要讨论级数在处的敛散性才能确定收敛域.此时收敛域可能是下列区间之一：3.【阿贝尔定理】（补充）设的收敛域为，则（1）若且,则对,收敛且绝对收敛.(2)若,则对,有即级数发散.证明:(1)收敛，由收的常数）,因,从而收敛,正项级数收敛收敛即对,收敛且绝对收敛.(2),假若有满足收敛矛盾.所以,有发散，即.注意:(1)若,则(收敛域),；14(2)若,则(发散域).4.【定理7.13】若幂级数系数满足条件或（为常数或），则(1)当时,则；(2)当时,则.（3）当时,则.常用公式:，.例如:幂级数的收敛半
5、径,时，级数发散，故其敛区与敛域均为.例1求幂级数的收敛半径与收敛域.解(1)级数的通项为.(2)当时,级数为收敛；当时,级数为发散.故收敛区间（敛区）是，收敛域为（敛域）.例2（1）求幂级数的收敛半径与收敛域.14解:,故收敛区间和收敛域均是.（2）求幂级数的收敛半径.解:.练习：求幂级数的收敛半径与收敛域.提示：，又时级数发散.收敛域.例3（1）求幂级数的收敛半径与收敛域.（缺项级数）提示：当时级数收敛；当时级数发散.当时，原级数是，收敛的交错级数.所以收敛半径，收敛区间，收敛域.注意：缺项级数可以直接用比值法求收敛半径.（2）求幂
6、级数的收敛域.解：14由时级数收敛，由由时级数发散.得当时，收敛，当时，收敛，所以收敛域为.例4求幂级数的收敛半径与收敛域.（中心不在原点的级数）解令,幂级数变形为,时级数绝对收敛，时级数发散，，当时原级数为收敛，当时，发散，故原级数收敛半径，收敛域为.注意：一般幂级数求收敛半径时作变量代换.提问：（1）(02.3)设幂级数与的收敛半径分别为与,则幂级数的收敛半径为（A）(A)5(B)(C)(D)答案,14（2）(90.5)求级数的收敛域.解令，级数,由知,因此当即时级数收敛.当时,原级数为收敛,当时,原级数为收敛.所以收敛域为.（3）
7、(92.3)级数的收敛域为.答令对于,由,于是收敛半径,则,即内收敛.当和时,原级数都为发散,所以收敛域为.三、幂级数以及和函数的运算性质1.设的收敛半径分别为1）加减法:,.其中:.2）乘法:,.其中:,,.143）除法:,.其中:待定,而由系列表达式,确定.此处,,但.2.幂级数的和函数在其收敛区间内是连续.3.幂级数的和函数在其收敛区间内可积，且有逐项积分公式,.(积分前后的收敛半径不变).例:,.逐项积分时在处无意义.4.幂级数的和函数在其收敛区间上可微，且在收敛区间上,.说明：求导与积分前后两级数的收敛半径不变，但收敛域有可能
8、改变.公式收敛域为例5求幂级数的和函数,并求.解：(1).当时,级数为14收敛；当时,级数为发散.故原级数收敛域是.(2)当时,有.于是,由于且幂级数在其收敛域上连续,取代入和函数可得.（2）求幂级数的和函
