利用微积分算子求幂级数的和函数(1)

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1、第14卷第3期2011年5月高等数学研究STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS利用微积分算子求幂级数的和函数彭凯军,孙胜先,苏灿荣(合肥工业大学数学学院,安徽合肥230009)Vol.14,No.3May,2011摘要针对幂级数求和函数的问题,引入借助微分算子、积分算子和微分方程进行计算的方法,可作为逐项微分法和逐项积分法的一种补充.实例说明其应用.关键词幂级数;微分算子;积分算子;微分方程中图分类号O173文献标识码A文章编号1008-1399(2011)03-0037

2、-02针对幂级数求和函数,常用的方法是在收敛区间内对幂级数采用的逐项微分和逐项积分,化复杂的幂级数为几种常见的幂级数[1],这种方法计算量较大,并且容易产生错误.本文给出以下三种利用微分思想求和函数的方法.xD=xd,dx由定理1得(xD)xn=x#nxn-1=nxn,,,,,,(xD)k-1xn=nk-1xn.1微分算子法因此定理1设f(x)为任一整系数多项式,dx是一阶微分算子,则有nn证明不妨设f(x)=c(x-x1)(x-x2),(x-xk),因为nnnn所以f(xD)xn=c(xD-x1)(

3、xD-x2),(xD-xk)xn=]]==n=1n!n=1n!](xD)k-1n=1(n-1)!k-1x其中pk(x)为x的k次多项式.令x=1,则可得]nk=f(1)=pk(1)#e.n=1n!推论1设f(x)为任一整系数多项式试证级数f(1)f(2)f(n)+n!之和必为e的整数倍.c(n-x1)(n-x2),(n-xk)xn=f(n)xn.证明因为f(x)为任一整系数多项式,故由[2]证明:对任一正整数k,级数n=1k定理1可得f(xD)xn=f(n)xn,的整数倍.证明题中级数的收敛

4、半径故可设]引入一阶微分算子kn!(n+1)f(x)=nkxn,xI(-],+]).n=1n!因此+]+]f(n)nf(xD)nx=x=n=0n!n=0n!nf(xD)f(xD)ex=g(x)ex,n=0其中g(x)为非零整系数多项式.令x=1,即可知+]f(n)=g(1)e.n=0n!收稿日期:2010-04-29;修改日期:2011-03-21.2积分算子法基金项目:合肥工业大学校级精品课程项目(数学分析);中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(119-4115090004).定理2[3]

5、设g(x)为任一整非零系数多项式,作者简介:彭凯军(1979-),男,湖南韶山人,理学硕士,讲师,从事计算数学研究.lxy_pkj@126.com.xD=xddxxD=xdf(xD)x=f(n)x.(xD-xk)x=xDx-xkx=(n-xk)x,nk-1xn(xD)k-1xnEEx#xn-1=E(xe)=pk(x)ex.(xD)E+,++,f(0)+1!2!,例1]En!为enan=lim]n(n+1!)k=+].R=liman+1nyEEE+]xEn!=E38为微分算子,令称之为积分算子,则有xDn

6、+1x0高等数学研究例3解法1则有]2011年5月]12n+1xn=0原级数的收敛域为(-],+]),设2n+1n=0(2n+1)!证明例2与对定理1的证明类似,从略.n-1求幂级数x2n的收敛域及和n=12n-1从而有fc(x)=]E1(2n)!x2n,函数.解原级数的收敛域为[-1,1],由定理2,有fc(x)+f(x)=]E1xn=ex.n!]]n=12n-1n=12n-1]2x21)n-11#1x2n-2=n=1xD]xDn=1x2=x2=xarctanx.0解此一

7、阶线性微分方程可得]f(x)=n=0(2n+1)!1ex-1e-x.22解法2由定理3可知fd(x)=f(x),解此二阶常系数齐次微分方程可得相同结果.3微分方程法综上所述,本文介绍了利用微分思想来求幂级数的和函数,主要介绍了三种在本科教学和研在实际计算过程中,我们还可能遇到含阶乘运]13nn=0(3n)!级数,如果能够通过求导降次,构造微分方程,从而究生入学考试中不常用的方法.这两种方法以供教师教学中拓广学生思路,考研学生考试中丰富自己解题手段.补充幂级数使得变成一个标准幂级数话,我们可再利用常见的

8、幂级数来求解.]En参考文献[1]陈传璋.数学分析:下册[M].2版.北京:高等教育出版社,1995:656.[4]设幂级数]En(kn+l)!xkn+l在收敛[2]吴良森,毛羽辉,宋国栋,等.数学分析习题精解[M].北京:科学出版社,2001:309-310.域内的和函数为f(x)(其中k2,而l为整数,a,b为实数),则有[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].2版.北京:高等