利用微积分求极限的简捷方法

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1、学士学位论文BACHELOR’STHESIS　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　编号学士学位论文利用微积分求极限的简捷方法学生姓名：玛依热姆·图尔迪学号：20080103009系部：数学系专业：数学与应用数学年级：08-1班指导教师：姑丽巴哈尔．穆罕默德艾力完成日期：2013年4月3日18学士学位论文BACHELOR’STHESIS中文摘要本论文主要讨论了如何利用微积分计算初等函数（反三角函数，对数函数，幂函数，常数函数）和非初等函数（被积函数）的极限，及其分析性质：导数的定义，微分中值定理，积分中值定

2、理，定积分定义，广义积分定义．其次讨论了上述定义和定理的应用和计算方法，定理的证明，且给出了11个例题．关键词：导数；微分；积分；导数的定义；定积分定义；微分中值定理；积分中值定理；广义积分定义18学士学位论文BACHELOR’STHESIS目　录中文摘要1引言31.利用微分求极限的特殊方法31.1利用导数的定义求极限的方法31．2利用微分中值定理求极限的方法52.利用积分求极限的特殊方法72.1利用定积分定义求极限的方法72.2利用积分中值定理求极限的方法112.3利用广义积分定义求极限的方法12总结15参

3、考文献16致谢1718学士学位论文BACHELOR’STHESIS引言极限是数学分析中的重要概念之一，是解决微积分问题的基本方法．微积分中的重要概念导数，积分都利用极限来定义．计算微分，积分都是计算极限的另一种形式．虽然用求极限方法能计算一些简单式子的极限，但对于复杂式子的极限过程不仅复杂，并且无法计算．所以本文介绍利用微积分除了计算一些简单式子的极限之外，还要计算较复杂式子极限的几种快捷方法．1.利用微分求极限的特殊方法1.1利用导数的定义求极限的方法定义1（导数的定义）设函数在点的某领域内有定义，若极限存

4、在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作．令则式可改写为18学士学位论文BACHELOR’STHESIS．例1求极限，其中为自然数．解令，则=，故从而，原式====．例2设，存在，且，则．证先仔细观察等式，因为，所以==．18学士学位论文BACHELOR’STHESIS1．2利用微分中值定理求极限的方法定理1(拉格朗日中值定理)若函数满足如下条件：在闭区间上连续；在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得，．证作辅助函数．已知函数在上连续，在内可导，又有，根据罗尔定理，在内至少存在一点，使．而

5、．于是.即，因为不论或，比值不变，所以式对或，成立，即或，在在与之间．因为，使，所以式也常写为，．18学士学位论文BACHELOR’STHESIS例3计算．解设，.例4证明时，存在，使得且有．证明设，由中值定理，存在，使得==为了解出，需要利用的展开式18学士学位论文BACHELOR’STHESIS所以故．2.利用积分求极限的特殊方法2.1利用定积分定义求极限的方法积分和的极限简称为定积分．所以计算某一式子的极限时，若能把此式子表示出某一个被积函数，在某一区间内的积分和，则此式子的极限就是我们所选定的被积函数

6、在它定义某一区间内的定积分．定义2（定积分定义）设是定义在上的一个实值函数.若存在某一实数，使得任给，总存在相应的，当对所作的分割的细度时，属于的一切积分和都满足则，称函数在上黎曼可知，记作数称为在上的定积分或黎曼积分，记作18学士学位论文BACHELOR’STHESIS借用极限记号来表示定积分，则写成例5利用定积分定义求极限；解把此极限式化为形如式的积分和的极限，并转化为定积分计算，为此作如下变形：不难看出，其中的和式是函数在区间上的一个特殊的积分和为等分割，；取，，由于在上满足牛顿-莱布尼兹公式的条件，故

7、由定积分定义和牛顿-莱布尼兹公式求得例6求极限．解（4）式的和是函数在区间的特殊积分和．它是把等分，取为的右端点构成的积分和，因为函数在可积，由定积分定义，有18学士学位论文BACHELOR’STHESIS．定理2若函数，在上连续，且有，则；证因为函数在上连续，所以在上可积，把分成个小区间所以其中令又因为，因此=18学士学位论文BACHELOR’STHESIS且因为在上连续，所以在上可积，所以．例7计算．解令，则把区间分成小区间，即18学士学位论文BACHELOR’STHESIS由定理2，有又．2.2利用积分

8、中值定理求极限的方法定理3（推广的积分第一中值定理）若与都在上连续，且在上不变号，则至少存在一点，使得证不妨设，.这时有，，其中M，分别为在上的最大，最小值.由定积分的不等式性质，得到.若，则由上式知，从而对任何，（5）式都成立．若，则得.18学士学位论文BACHELOR’STHESIS由连续函数的介值性，必至少有一点，使得，.例8计算．解令，，因知，在上满足上述定理的条件．所以由推广的积分第一中值