浅谈微积分中求极限的方法

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1、浅谈微积分中求极限的方法孟凡洲（河南大学数学与信息科学学院开封475004）摘要极限是微积分的一条基本线索，本文概述了微积分中几种常用的求极限的方法：利用极限的定义验证极卩艮；利用单调有界定理求极限；利用初等变换求极限；利用夹逼性求极限；利用两个主要极限求极限；利用洛必达法则求极限;利用等价量代换求极限；利用定积分求极限；利用上下极限法求极限；利用压缩性条件求极限；利用递推公式求极限；利用泰勒展开式求极限等.关键词极限；洛必达法则；单调有界.1利用数列极限的定义验证极限利用极限的定义验证极限，应先根据极限的唯一性求出极限，然后

2、再证明极限的存在卩釦求黒幕H2n2-l26h2-3-6h2-43n2+233(3/+2)V^>0,-<解因n要证-•—r—<3-^<-33n2+23/12n既有:少21rX/£〉O,M,g〉N,有:<£3/+23即:lim—；——=一nT83n~+232利用单调有界定理求极限利用单调有界定理求极限的依据是单调有界数列必有极限•所以我们在求极限时一般分三个步骤：1证单调性2证有界性3设出极限，求解关于极限的方程.例2证明序列兀0>0,£+]=心°匚+3")(°»0)的极限3xn+a存在，并求limx“.HT82证明令/(%)=

3、兀(兀―+3d)3x2+a则:3(/q)2(3/+°)2>0故，由兀曲=f(xn)及于(兀)的单调递增性知:(1)若旺"o,则x2=/(%!)>/(XO)=X1设M=k时X,>=f(xk)>f(xk_i)=xk由归纳法可知：xrt+1>x/r于是兀(兀：+3°)占3百+Q即xn2x0>0故xQ8(2)xl

4、则同理可证：xn+｝0)2丁.是：X”(X+3d)<即2n。3xh2+«显然>0

5、inxsinxx/2nsinx—:—i»sin兀2"xf4利用夹逼性定理求极限夹逼性是指若存在自然数N，当时，恒有xn00性求极限时,应注意将心做适当的放大或缩小.2n3+…9/•n+n+2+n+n1+2*+nn2+n+1/i2+n+2n2+rt+nn2+/?+11+2J3+…+.g<1+2+3+・・・+〃+〃+n恤響+1）=恤巾+1）显“T82（/7+H+H）282（卩广+斤+1）2从而limG=丄.F?T82例5求lim（Vn-l）,/n.n-x

6、»n-ln-l解曲:*l_l+（亦）+（亦尸+…+（诉）"T丄in”-ln«—ln«1+0"+en+•••+£"n-11231+—Inn+—Inn+—Inn+•••+n2——-——<:—<一〃一1g农2+（兀一1）InnInnn2（n-1）从而1Q—co/i—>oo由夹逼定理知：lim(Vi?-l)1/n=1."T85利用两个重要极限求极限两个重要极限是：(1)lim聖兰=1(2)lim(l+-)x=e.

7、xtO兀x—»oo%其中第一种重要极限lim^=l可理解为xtOlim沁=1,而第二种极限lim（l+丄）”=€可以理解为0->0◊X—>00JQ丄lim（l+—）°=e或者lim（l+◊）◊=e.Ots◊0->0两个垂要求极限是求极限的一个觅要手段。我们要根据题目中给出的条件灵活的选择适当的形式，以使运算更加便捷⑵.例6求lim(cos—)n.齐Toon解11,1—/r(cos——1)121COS丄-1，?lim[l+(cos——l)]n=lim[l+(cos——1)]"“Too比n—>oc斤1cosl-12/：沪lim[

8、l+(cos——1)]八6利用洛必达法则求极限利用洛必达法则求极限的时候应该注意到f。8（X）或1曲AW不存在不能得出lim也或lim竺也不存ig（X）f0g（x）ig（x）在.洛必达法则是处理未定式极限的重耍手段，且非常有效•但它只能应用于（°）聲口（竺）型的未定式.只要是