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《初中数学数学论文 浅谈微积分中求极限的方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、浅谈微积分中求极限的方法摘要极限是微积分的一条基本线索，本文概述了微积分中几种常用的求极限的方法：利用极限的定义验证极限；利用单调有界定理求极限；利用初等变换求极限；利用夹逼性求极限；利用两个主要极限求极限；利用洛必达法则求极限；利用等价量代换求极限；利用定积分求极限；利用上下极限法求极限；利用压缩性条件求极限；利用递推公式求极限；利用泰勒展开式求极限等.关键词极限;洛必达法则;单调有界.1利用数列极限的定义验证极限利用极限的定义验证极限，应先根据极限的唯一性求出极限，然后再证明极限的存.例1求=.解因要证：只需证：N=m
2、ax因此只要既有：所以，2利用单调有界定理求极限利用单调有界定理求极限的依据是单调有界数列必有极限.所以我们在求极限时一般分三个步骤：1证单调性2证有界性3设出极限，求解关于极限的方程.例2证明序列的极限存在，并求.证明令=则：故，由及的单调递增性知：（1）若，则设时则由归纳法可知：于是即显然：故.于是：单调递增且有上界，于是收敛，我们记收敛于，则于是在中取极限值，得：可得而.（2）时则同理可证：于是：即显然故故单调递减，且有下界，故收敛.同样可知.3利用初等变换求极限利用初等变换是将变形，然后求极限。利用初等变换求极限也
3、是求极限的一个重要方法，应该熟练的掌握。利用初等变换求极限时要注意变形的准确性，要做有利于解题的变形.例3设=求.解两边同乘以，则可以得到：===.4利用夹逼性定理求极限夹逼性是指若存在自然数，当时，恒有若则，利用夹逼性求极限时，应注意将做适当的放大或缩小.例4求极限.解记则.又从而.例5.解由:从而不等式两边同时开次得：因为，由夹逼定理知：.5利用两个重要极限求极限两个重要极限是：（1）（2）.其中第一种重要极限可理解为，而第二种极限可以理解为或者.两个重要求极限是求极限的一个重要手段。我们要根据题目中给出的条件灵活的选
4、择适当的形式，以使运算更加便.例6求.解6利用洛必达法则求极限利用洛必达法则求极限的时候应该注意到或不存在不能得出或也不存在.洛必达法则是处理未定式极限的重要手段，且非常有效.但它只能应用于（）型和型的未定式.只要是（）型和型的，都可一直进行下去.每完成一次法则都要将式子化简.而对于等形式，需化为（）型和型的形式求解.例7求解=====0例8证明：.证明其中用了变量代换例.7利用定理求极限定理是求分式数列极限的常用方法，是求极限的重要手段.定理：设是单调增加的正无穷大量，（可以是有限量，），则.例9设（其中）.求.解因，应
5、用公式，=（再次用公式）.8利用等价量代换求极限等价量代换是我们求解极限问题常用的方法.解题时要注意无穷小量的代换，熟悉常用的无穷小量代换，能便捷的求出极限.注意几个几个常用的无穷小量等价替换：其中且为常数.例10求极限.解====1.9利用定积分求极限定义：若f（x）在[a,b]上可积，则对[a,b]的任一分割T：，及介点都有其中，.例11求极限.解记则，，它可看作在上对应于等分割以及介点的积分和.于是，故.10利用上下极限法求极限利用上下极限法求极限是一个很好的求极限方法，适用于一般的求数列极限，要很好的掌握.收敛的充
6、分必要条件是：.例12设，.则收敛证明若，则.由时，知，，设在已知等式中，分别取上下极限，知：，易知故收敛.11利用微分中值定理求极限微分中值定理和其他求极限的方法联系起来，能使问题更简便例13求极限.解设，在与所构成的区间上应用Lagrange中值定理：4(介于).12利用压缩性条件求极限原理：设满足：则收敛.例14设，求.解首先证明的存在：由已知条件：又显然,于是，故于是存在，记为则在上式中求极限：，即又故：于是：（舍去）.13利用递推公式求极限理论：我们常常见到一些数列满足,我们可以利用的规律性来推得某些关系再结合其
7、他求极限的方法，可求得的极.例15Fibonacci数列,，那么.证明记则：，（1）.则由（1）可得：于是显然;于是：.满足压缩性条件，故收敛于，在（1）中两端取极限，，且由，可知,即.例16设，求.解令则从而,于是单调有界从而收敛，记收敛于，则.由，知：从而（利用公式）.14利用泰勒展开求极限用泰勒公式求极限是将复合函数在某点展开，化为统一的多项式形式.例17求极限.解由可得：.综上所述，以上归纳了求极限的几种求法.当然还有一些其他的方法，如利用麦克劳林公式、利用柯西准则等等.由于篇幅有限，不再赘述.参考文献[1]陈纪修
8、,於崇华等,数学分析,高等教育出版社,2002.[2]陆庆乐,高等数学,西安交通大学出版社,1998.[3]裴礼文,数学分析问题中的典型例题和方法,高等教育出版社,2001.
