利用微分方程求幂级数的和函数.pdf

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1、上海工程技术大学教育研究
3/2010利用微分方程求幂级数的和函数沈亦一(上海工程技术大学基础教学学院
上海201620)x

摘
要
在多数高等数学教材中,e,sinx的展开式都是利用直接展开法得到的。本文利用x微分方程给出了e,sinx的展开式,这种方法更容易被学生所接受,也可以节省课堂教学的时间。利用微分方程求幂级数的和函数也是考研数学的一个重要知识点。

关键词
幂级数;和函数;微分方程;考研数学n

在大多数高等数学教材中,微分方程都x0)并求其收敛区间I;(3)证明limRn(x)n∀!是编排在无穷级数后面的。因而在教学

2、中,f(n+1)(
)n=lim(x-x0)对于x#I均成立。普遍面临着这样的一个问题。利用间接展开n∀!(n+1)!x法将函数展开成幂级数时需要用到e,sinx!从而将f(x)展开成幂级数,即f(x)=的展开式,而这两个展开式都是利用直接展n=0(n)f(x0)开法作为例题给出的。直接展开法步骤多,(x-xn0)(x#I)。直接展开法的思n!难度大,不宜被学生所理解和掌握。近来,有路很明确,但在使用的过程中会遇到许多困部分高等数学教材改变了传统的内容编排顺(n)难。首先对于多数函数给出f(x)并不总序,将微分方程提到无穷级数的前面

3、,这就使是切实可行;其次是limRn(x)=0的证明。得我们可以利用微分方程求幂级数的和n∀!函数。x1间接展开法是在e,sinx,等函数展开式本文利用微分方程给出了,的展开式,这1-x种方法更容易被学生所接受,也可以节省课堂的基础上,通过恒等变形,利用幂级数逐项求教学的时间。在研究生入学数学考试中,求幂导和逐项积分的性质,将f(x)展开成幂级数。间接展开法相比之下简便易行,但需要级数的和函数是一个重要的知识点,掌握利用x微分方程求幂级数的和函数这一方法,有助于一定的技巧,同时间接展开法离不开e,提高考生综合运用所学知识的能力。1s

4、inx,等函数的展开式,而在多数高等数1-xx学教材中,e,sinx的展开式都是利用直接展一、用间接展开法将和展成的幂级数开法得到的。我们也看到有些教材在内容的编排上有函f(x)数展开成幂级数的方法分为直所创新,最明显的变化是将微分方程编排在接展开法和间接展开法。直接展开法包括以(n)无穷级数的前面。微分方程也可以用来求幂下步骤:(1)求出f(x0)(n=1,2,);!(n)n!f(x0)级数的和函数。若对S(x)=anx逐项求n=0(2)写出f(x)的泰勒级数(x-n=0n!导后不能直接求得和函数的导数S∃(x),但%59%2是

5、可以导出和函数S(x)所满足的一个微分un+1(x)xlim=lim=0<1,n∀!n∀!2n+1方程,并容易确定其初值,则通过求解该微分un(x)方程的初值问题就可求得幂级数的和函数S故对于任意的x,级数!2n-1(x)。n-1xx(-1)下面通过求解微分方程,给出e,sinx的n=1(2n-1)!展开式。都是收敛的,因而幂级数02!2n-1!xxn-1x例1
求幂级数=1+x+++(-1)n=0n!2!n=1(2n-1)!nx的收敛区间为(-!,+!)。设其和函数为+的和函数。n!f(x),则解:!2n-1n-1xf(x)=

6、(-1)=an+1n!n=1(2n-1)!=lim=lim=n∀!an∀!(n+1)!32n-1nxn-1xx-++(-1)+13!(2n-1)!lim=0,n∀!n+1(-!

7、-!

8、即e==1+x++++n=0n!2!n!!2n-1n-1xsinx=(-1)=(-!