2016考研数学复习之幂级数.doc

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1、2016考研数学复习之幂级数来源：文都教育级数部分在考研数学当中应用比较广的是第二部分-幂级数。幂级数和前面讲过的泰勒公式一样，看似复杂，其实就是很简单的运算问题。根据以往考研真题来看，每年几乎都会出关于幂级数的题目，所以这一部分在本章中是重点。下面，文都数学老师将幂级数这一部分的知识点总结如下。幂级数1．概念和性质定义1：形如的函数项级数，称为的幂级数，其中为常数．当时，，称为的幂级数．定义2：设任意幂级数在内收敛，在外发散（发散与否不考虑），则称为其收敛半径．有三种类型：（1）时，收敛域仅为一点；（2）时，收敛

2、域为；（3）某一定常数时，收敛域为一有限区间．（四则运算性质）设幂级数和，收敛半径分别为，，则有：（1），且在内绝对收敛；（2）；（3）设，则在的足够小的领域内，利用多项式除法得系数．2．收敛半径和收敛域设有幂级数，或，则．收敛域的求法：（1）先求收敛半径，确定收敛区间为；（2）代入，验证的收敛性．注：幂级数隔项时，需将通项看做一个整体，利用正项级数的比值判别法或根值判别法求收敛域，例如幂级数和．3．函数的幂级数展开泰勒级数：设在的某一领域内具有任意阶导数，级数称为在的泰勒级数．当时，级数为麦克劳林级数．定理：设在

3、的某一领域内具有任意阶导数，则泰勒级数收敛于的充要条件是，其中，其中．常用函数的展开式：（1），．（2），．（3），．（4），．（5），．（6），．（7），，注：端点是否收敛随而定，但该式在内总有意义．4．和函数设幂级数的收敛半径为，则在内有：（1）的和函数是连续的；（2）可逐项求导，且；（3）可逐项积分，且．注：原和函数与逐项求导或积分后的和函数收敛半径相同，收敛域不一定相同．求幂级数和函数的步骤：（1）求出收敛域；（2）通过逐项积分或求导将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数与其导数的关系

4、），从而得到新级数的和函数；（3）对于得到的和函数作相反的分析运算，便得原幂级数的和函数．利用和函数求数项级数的和：阿贝尔法（构造幂级数法），其中幂级数可通过逐项求导或积分求得和函数，因此．以上是文都数学老师总结的所有2016考研高数当中级数部分的知识点，级数部分知识比较系统，相对也比较好复习，所以，只要同学们好好复习，这一部分的分数，在考试当中一般不会丢失，希望以上内容对大家有所帮助。