幂级数考研辅导.ppt

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1、幂级数一、函数项级数的概念1.定义:2.收敛点与收敛域:3.和函数:解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.原级数发散.收敛;发散;二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:P177Ex1(8)，P165例2(1)则若存在正数R,当

2、x

3、＜R时,幂级数绝对收敛.当

4、x

5、＞R时,幂级数发散.正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域为幂级数的收敛区间为3.幂级数的收敛半径与收敛区间:规定4.幂级数的收敛半径求法注:该定理反之不成立.即:幂级数的收敛半径为R,未必例如的收敛半径是R＝1.但例2求下列幂级数的收敛区间:发散收敛故收敛区间为(0,1].解

6、缺少偶次幂的项级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为例3若幂级数的收敛域为(－4,4],写出的收敛域.[－2,2]例4(08考题）若幂级数在x=0处收敛，在x=－4处发散，则幂级数的收敛域.（1,5]P163(8)例7求幂级数的收敛域。例5(02竞赛)求幂级数的收敛域。[－1,1)[－1,1)例6设，若则该幂级数的收敛半径为。2/3三、幂级数的运算1.代数运算性质:加减法(其中注:两级数相加减所得幂级数的半径R≥min{R1，R2}.但当R1≠R2时,R＝min{R1，R2}.如P163例1(3)例7求的收敛域.解由根式

7、判别法易得的收敛半径都是3.又原级数在x＝3时发散,故其收敛半径R＝3.2.和函数的分析运算性质:(收敛半径不变,但收敛域会变.)(收敛半径不变,但收敛域会变.)如求的和函数。解两次积分得首先，该级数的收敛域为[－1,1]例9求的和函数.解令x2＝t,即求的和函数.求导,得所以解收敛区间(－1,1),例11的和=P168(3)(4)例12(08考题)设银行存款年利率为r=0.05,并按年复利计算.某基金会希望通过存款A万元实现第一年提取19万元,第二年提取28万元,第n年提取(10+9n)万元,并能按此规律一直提款下去,问A至少应为多少万元

8、?解设An为用于第n年提取(10+9n)万元的贴现钱故例13设幂级数,当时，且;（1）求幂级数的和函数；（2）求和函数的极值.解（1）令，求得四、函数展成幂级数1.直接法(Taylor级数法)步骤:.（2）2.常见函数的幂级数展开式3.间接法例14设试将f（x）展成x的幂级数.并求.解例15把ln(4－9x2)展成x的幂级数,并求其收敛半径.解例16把展成x的幂级数,并求的和.解P170例9例17把展成为的幂级数，它的收敛半径是例19解