深度思维训练讨论题23a幂级数收敛域与和函数

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1、品味数学（观察、发现，试探，整理，品味），提高思维讨论题231、求的收敛半径和收敛域。解故。当时，级数成为莱布尼茨型级数收敛，又由比值判别法也收敛，故为收敛点。当时，级数成为调和级数发散，又由比值判别法绝对收敛，故为发散点。综上所述，原级数的收敛域为2、求的收敛半径解法一由根值公式，故解法二由根值审敛法，，故当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散，所以收敛半径为解法三由于与均为等比级数，且当时收敛，由幂级数的代数运算性质可知原级数当时收敛；又当时原级数为发散，由阿贝尔定理，当时，原级数发散，所以原级数收敛半径为。3、求的收

2、敛域。8解法一直接用比值判别法，令，得。当时级数成为收敛的莱布尼茨型级数，当时，级数成为发散的调和级数，所以该幂级数的收敛域为。解法二作变量代换，则原级数成为的幂级数，用比值法求的值，，故的收敛半径为。当时级数成为收敛的莱布尼茨型级数，当时，级数成为发散的调和级数，所以的收敛域为，由，原幂级数的收敛域为。4、求的收敛域。解直接用比值判别法，令，得当时，级数均为。由莱布尼茨判别法知其收敛，故该幂级数的收敛域为5、求的收敛域。解令，则原级数成为的幂级数，此时，故的收敛半径为。8当时级数成为收敛的莱布尼茨型级数，当时，级数成为发

3、散的调和级数，所以的收敛域为，由，原幂级数的收敛域为6、求幂级数在收敛域内的和函数。解法一该级数是仅含偶次项的级数。用比值判别法可得收敛半径，又在处，级数发散，故其收敛域为。，解法二代数运算法求和函数设，则，从而7、求幂级数在内的和函数。解法1令，则再令，则，，从而8从而解法2代数运算法与逐项微分法结合使用。令，于是所以进而8、求幂级数的和函数解令故有即9、求幂级数在收敛域内的和函数。8解由，由于在处必要条件不满足而不收敛，故收敛域为。令时从而10、求幂级数的收敛域与和函数。解由，由于在处必要条件不满足而不收敛，故收敛域为

4、。记，则所以因此811、设。证明当时，幂级数收敛，并求其和解因为，且单调增加，则，故当时由比值判别法，因，即当时幂级数绝对收敛。令，则即，从而求得（进一步因为有了，即有界，又，分母大于零，看分子，从而数列单调递减，因而存在，设则，舍去不合理的负值，得）12、设级数的和函数为。求：（1）所满足的微分方程；（2）的表达式。解（1）由，知，8因此是微分方程的初值问题的解；（2）即，从而，再由，得13、求的和解14、求的和解由正项级数的审敛法可知级数收敛。令因为所以即，从而15、求的和解由于考虑，则该幂级数的收敛域为，令，则8从而

5、16、设，求证：当时，证当时，令则再令，则从而；同理，综合得，因此可得8