函数项级数和幂级数习题

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1、第十章函数项级数习题课一、主要内容1、基本概念函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域2、一致收敛性A、函数列一致收敛性的判断：（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性（2）Cauchy收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断（3）确界（最大值方法）：（4）估计方法：（5）Dini-定理：条件1）闭区间；2）连续性；3）关于的单调性注、除Cauchy收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般

2、应先利用点收敛性计算出极限函数。注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。注、Dini定理中，要验证的关键条件是关于n的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x，作为数列关于n是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N，当n>N时”条件成立即可，但是

3、，要注意N必须是与x无关的，即当n>N时，对所有任意固定的x，关于n单调，因此，此时的单调性也称为对n的单调性关于x一致成立。非一致收敛性的判断（1）定义（2）Cauchy收敛准则（3）确界法：存在，使得不收敛于0（4）和函数连续性定理（5）端点发散性判别法：在c点左连续，发散，则在136内非一致收敛注、在判断非一致收敛性时，按照使用时的难易程度，可以按如下顺序使用相应的方法进行判断：端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy收敛准则。B、函数项级数一致收敛性的判断（1）定义（

4、2）Cauchy收敛准则（3）转化为函数列（部分和）（4）余项方法：一致收敛于0（5）几个判别法：W-法，Abel法，Dirichlet法，Dini-法注、一般来说，由于不容易计算和函数，函数项级数的一致收敛性的判断比函数列一致收敛性的判断要复杂，但是，由于判别法并不是很多，因此，对一个题目，在不能准确分析其结构特点，确定相应的判别法时，可以采用逐个试探的方法，确定出一个合适的判别法，但是，不管用哪个判别法，一定要严格验证相应的条件。注、方法（3）和方法（4）处理问题的思想是一致的，只是途径不同。非一

5、致收敛性的判断（1）、定义（2）、Cauchy准则（3）、部分和方法，转化为函数列判断（4）、和函数连续定理（5）、端点发散性判别法（6）、必要条件：通项函数列不一致收敛于0（7）、逐项求积法：与和函数连续性定理类似，利用一致收敛的和函数的分析性质，通过验证不能逐项求积进行判断。注、使用的顺序基本和函数列的情形类似。3、和函数性质定性分析：连续性，可微性的判断定量分析：求导，求积，求极限注、对和函数的连续性、可微性等定性性质的分析，充分利用这些性质的局部性，将给定区间（通常是开区间）上的性质研究转化为

6、内闭区间上的性质研究，因此，解决问题的关键通常是内闭一致收敛性的验证。4、幂级数（1）收敛半径，收敛域136（2）各种收敛性的关系：点收敛、绝对收敛、一致收敛（3）幂级数的展开（4）和函数的性质：求和，求导，求积，求极限…注、要充分利用各种技巧实现和函数的计算、幂级数的展开等性质研究。二、典型题目1、判断函数列在的一致收敛性，其中（1）、，（2）、。解：（1）计算得，，，因而，，，故，在一致收敛。（2）计算得，，记，则，故，在处达到最大值，因而，故，在非一致收敛。注、下述用Dini-定理求证（2）的过

7、程是否合适。验证Dini定理的条件：显然，对任意的n，，；当或，，因而关于单调；当时，考察关于的单调性，为此，将离散变量连续化，记，考查对应函数关于的单调性。显然，136，故，当时，，因而关于单减。对应得到当时，关于单减，故由Dini-定理，在中一致收敛。分析显然，这是与最大值解法相矛盾的结论。最大值方法是正确的，那么，上述Dini-定理的证明过程错在何处？进一步考察Dini-定理的条件与上述证明过程：条件是确定的，有限区间也适合，剩下的条件只有单调性了。那么，Dini-定理中对单调性条件如何要求的？

8、其叙述为：对任意固定的，是的单调数列，注意到收敛性与前有限项没有关系，因而的单调性也放宽为时，是的单调数列，本例中，在验证单调条件时，实际证明了：，当时，关于单调，显然，，（），因此，的单调性关于x并非是一致的，破坏了Dini-定理的条件，故Dini-定理不可用。从上述分析过程看，当考虑到数列的收敛与前面有限项关系时，Dini-定理可这样表述：Dini-定理在有限闭区间上，设，且点收敛于，又，使得对任意固定的，关于单调，则。注、上述分析表明：要考察函数列