10函数项级数和幂级数 习题课

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时间:2018-07-22

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1、第十章函数项级数习题课一、主要内容1、基本概念函数列(函数项级数)的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域2、一致收敛性A、函数列一致收敛性的判断:(1)定义:用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性(2)Cauchy收敛准则:用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断(3)确界(最大值方法):(4)估计方法:(5)Dini-定理:条件1)闭区间;2)连续性;3)关于的单调性注、除Cauchy收敛准则外,都需要知道极限函数,因此,在判断一致收敛性时,一般应先利用点收敛

2、性计算出极限函数。注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同,定义方法通常处理抽象的对象,估计方法是确界方法的简化形式,估计方法处理较为简单的具体的对象,确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计,通常用于处理具有一般结构的具体的函数列,也可以用于非一致收敛性的判断。注、Dini定理中,要验证的关键条件是关于n的单调性,定理中相应的条件为“对任意固定的x,作为数列关于n是单调的”,注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系,上述条件也可以改为“存在N,当n>N时”条件成立即可,但是,要注意N必须是与x无关的,

3、即当n>N时,对所有任意固定的x,关于n单调,因此,此时的单调性也称为对n的单调性关于x一致成立。非一致收敛性的判断(1)定义(2)Cauchy收敛准则(3)确界法:存在,使得不收敛于0(4)和函数连续性定理(5)端点发散性判别法:在c点左连续,发散,则在136内非一致收敛注、在判断非一致收敛性时,按照使用时的难易程度,可以按如下顺序使用相应的方法进行判断:端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy收敛准则。B、函数项级数一致收敛性的判断(1)定义(2)Cauchy收敛准则(3)转化为函数列

4、(部分和)(4)余项方法:一致收敛于0(5)几个判别法:W-法,Abel法,Dirichlet法,Dini-法注、一般来说,由于不容易计算和函数,函数项级数的一致收敛性的判断比函数列一致收敛性的判断要复杂,但是,由于判别法并不是很多,因此,对一个题目,在不能准确分析其结构特点,确定相应的判别法时,可以采用逐个试探的方法,确定出一个合适的判别法,但是,不管用哪个判别法,一定要严格验证相应的条件。注、方法(3)和方法(4)处理问题的思想是一致的,只是途径不同。非一致收敛性的判断(1)、定义(2)、Cauchy准则(3)

5、、部分和方法,转化为函数列判断(4)、和函数连续定理(5)、端点发散性判别法(6)、必要条件:通项函数列不一致收敛于0(7)、逐项求积法:与和函数连续性定理类似,利用一致收敛的和函数的分析性质,通过验证不能逐项求积进行判断。注、使用的顺序基本和函数列的情形类似。3、和函数性质定性分析:连续性,可微性的判断定量分析:求导,求积,求极限注、对和函数的连续性、可微性等定性性质的分析,充分利用这些性质的局部性,将给定区间(通常是开区间)上的性质研究转化为内闭区间上的性质研究,因此,解决问题的关键通常是内闭一致收敛性的验证。

6、4、幂级数(1)收敛半径,收敛域136(2)各种收敛性的关系:点收敛、绝对收敛、一致收敛(3)幂级数的展开(4)和函数的性质:求和,求导,求积,求极限…注、要充分利用各种技巧实现和函数的计算、幂级数的展开等性质研究。二、典型题目1、判断函数列在的一致收敛性,其中(1)、,(2)、。解:(1)计算得,,,因而,,,故,在一致收敛。(2)计算得,,记,则,故,在处达到最大值,因而,故,在非一致收敛。注、下述用Dini-定理求证(2)的过程是否合适。验证Dini定理的条件:显然,对任意的n,,;当或,,因而关于单调;当时

7、,考察关于的单调性,为此,将离散变量连续化,记,考查对应函数关于的单调性。显然,136,故,当时,,因而关于单减。对应得到当时,关于单减,故由Dini-定理,在中一致收敛。分析显然,这是与最大值解法相矛盾的结论。最大值方法是正确的,那么,上述Dini-定理的证明过程错在何处?进一步考察Dini-定理的条件与上述证明过程:条件是确定的,有限区间也适合,剩下的条件只有单调性了。那么,Dini-定理中对单调性条件如何要求的?其叙述为:对任意固定的,是的单调数列,注意到收敛性与前有限项没有关系,因而的单调性也放宽为时,是的

8、单调数列,本例中,在验证单调条件时,实际证明了:,当时,关于单调,显然,,(),因此,的单调性关于x并非是一致的,破坏了Dini-定理的条件,故Dini-定理不可用。从上述分析过程看,当考虑到数列的收敛与前面有限项关系时,Dini-定理可这样表述:Dini-定理在有限闭区间上,设,且点收敛于,又,使得对任意固定的,关于单调,则。注、上述分析表明:要考察函数列

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1、第十章函数项级数习题课一、主要内容1、基本概念函数列(函数项级数)的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域2、一致收敛性A、函数列一致收敛性的判断:(1)定义:用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性(2)Cauchy收敛准则:用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断(3)确界(最大值方法):(4)估计方法:(5)Dini-定理:条件1)闭区间;2)连续性;3)关于的单调性注、除Cauchy收敛准则外,都需要知道极限函数,因此,在判断一致收敛性时,一般应先利用点收敛

2、性计算出极限函数。注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同,定义方法通常处理抽象的对象,估计方法是确界方法的简化形式,估计方法处理较为简单的具体的对象,确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计,通常用于处理具有一般结构的具体的函数列,也可以用于非一致收敛性的判断。注、Dini定理中,要验证的关键条件是关于n的单调性,定理中相应的条件为“对任意固定的x,作为数列关于n是单调的”,注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系,上述条件也可以改为“存在N,当n>N时”条件成立即可,但是,要注意N必须是与x无关的,

3、即当n>N时,对所有任意固定的x,关于n单调,因此,此时的单调性也称为对n的单调性关于x一致成立。非一致收敛性的判断(1)定义(2)Cauchy收敛准则(3)确界法:存在,使得不收敛于0(4)和函数连续性定理(5)端点发散性判别法:在c点左连续,发散,则在136内非一致收敛注、在判断非一致收敛性时,按照使用时的难易程度,可以按如下顺序使用相应的方法进行判断:端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy收敛准则。B、函数项级数一致收敛性的判断(1)定义(2)Cauchy收敛准则(3)转化为函数列

4、(部分和)(4)余项方法:一致收敛于0(5)几个判别法:W-法,Abel法,Dirichlet法,Dini-法注、一般来说,由于不容易计算和函数,函数项级数的一致收敛性的判断比函数列一致收敛性的判断要复杂,但是,由于判别法并不是很多,因此,对一个题目,在不能准确分析其结构特点,确定相应的判别法时,可以采用逐个试探的方法,确定出一个合适的判别法,但是,不管用哪个判别法,一定要严格验证相应的条件。注、方法(3)和方法(4)处理问题的思想是一致的,只是途径不同。非一致收敛性的判断(1)、定义(2)、Cauchy准则(3)

5、、部分和方法,转化为函数列判断(4)、和函数连续定理(5)、端点发散性判别法(6)、必要条件:通项函数列不一致收敛于0(7)、逐项求积法:与和函数连续性定理类似,利用一致收敛的和函数的分析性质,通过验证不能逐项求积进行判断。注、使用的顺序基本和函数列的情形类似。3、和函数性质定性分析:连续性,可微性的判断定量分析:求导,求积,求极限注、对和函数的连续性、可微性等定性性质的分析,充分利用这些性质的局部性,将给定区间(通常是开区间)上的性质研究转化为内闭区间上的性质研究,因此,解决问题的关键通常是内闭一致收敛性的验证。

6、4、幂级数(1)收敛半径,收敛域136(2)各种收敛性的关系:点收敛、绝对收敛、一致收敛(3)幂级数的展开(4)和函数的性质:求和,求导,求积,求极限…注、要充分利用各种技巧实现和函数的计算、幂级数的展开等性质研究。二、典型题目1、判断函数列在的一致收敛性,其中(1)、,(2)、。解:(1)计算得,,,因而,,,故,在一致收敛。(2)计算得,,记,则,故,在处达到最大值,因而,故,在非一致收敛。注、下述用Dini-定理求证(2)的过程是否合适。验证Dini定理的条件:显然,对任意的n,,;当或,,因而关于单调;当时

7、,考察关于的单调性,为此,将离散变量连续化,记,考查对应函数关于的单调性。显然,136,故,当时,,因而关于单减。对应得到当时,关于单减,故由Dini-定理,在中一致收敛。分析显然,这是与最大值解法相矛盾的结论。最大值方法是正确的,那么,上述Dini-定理的证明过程错在何处?进一步考察Dini-定理的条件与上述证明过程:条件是确定的,有限区间也适合,剩下的条件只有单调性了。那么,Dini-定理中对单调性条件如何要求的?其叙述为:对任意固定的,是的单调数列,注意到收敛性与前有限项没有关系,因而的单调性也放宽为时,是的

8、单调数列,本例中,在验证单调条件时,实际证明了:,当时,关于单调,显然,,(),因此,的单调性关于x并非是一致的,破坏了Dini-定理的条件,故Dini-定理不可用。从上述分析过程看,当考虑到数列的收敛与前面有限项关系时,Dini-定理可这样表述:Dini-定理在有限闭区间上,设,且点收敛于,又,使得对任意固定的,关于单调,则。注、上述分析表明:要考察函数列

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