无穷级数3-7(函数项级数幂级数收敛半径).ppt

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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A4.3.1函数项级数4.3.2幂级数及其收敛半径4.3幂级数第4章无穷级数4.3幂级数4.3.1函数项级数函数项级数的定义收敛点与收敛域和函数4.3.2幂级数及其收敛性幂级数的定义阿贝尔(Abel)定理收敛半径与收敛域标准幂级数收敛半径的求法标准幂级数收敛域的求法习例1一般幂级数收敛域的求法一般幂级数收敛域的求法习例2-3内容小结与思考注解演练例题幂级数一、函数项级数1.定义2.收敛点与收敛域函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意:3.和函数(定义域是?)函数项

2、级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.的收敛域.例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数二、幂级数及其收敛性1.定义注1因经变换后,幂级数(1)与(2)可相互转化,故下面主要讨论形式(1)的幂级数.类似地，有幂级数的收敛域，和函数的定义。例1解2.阿贝尔(Abel)定理证由结论(1),注意:Abel定理对标准幂级数给出.几何说明收敛区域发散区域发散区域推论3.收敛半径与收敛域、收敛区间定义:正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛区间是开区间规定问题

3、如何求幂级数的收敛半径?幂级数的收敛域包括幂级数的收敛区间及端点情况.4.标准幂级数收敛半径、收敛域的求法定理2证则比值审敛法得：<1定理证毕.例2求下列幂级数的收敛半径和收敛域标准幂级数收敛域的求法习例解收敛.绝对收敛.解发散.发散.解解5.一般幂级数收敛域的求法方法1.(2)由标准幂级数收敛域的求法可得：方法2.(用比值法讨论)例3一般幂级数收敛域的求法习例例3解方法一方法二由比值法得，注意:(3)求一般函数项级数的收敛域时,可直接用比值法讨论.解缺少偶次幂的项级数绝对收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数

4、的收敛域为注解我们所说的“求幂级数的收敛半径及收敛区域”都是如对标准幂级数而言的;但形非标准幂级数,下步骤求收敛半径和收敛区域:直接用上述方法求收敛半径和收敛区间,却不能而只能是采用如第一步:用变量代换把它们化为标准幂级数如令变量代换第二步:求变换后的新的标准幂级数的收敛半径及收敛区间;第三步:将新的标准幂级数的收敛半径和收敛端点回代到变量代换中去,求出原级数的收敛区域.或用达朗贝尔判断方法去判断。演练例题求下列幂级数的收敛半径及收敛域:例求下列幂级数的收敛半径及收敛域:则原级数变为则此幂级数的收敛区间为(-1,1

5、).而当t=-1时,级数收敛;而当t=1时,级数发散.故当-1≤2x+1<1时,即-1≤x<0时,级数收敛.解即原级数收敛域为[-1,0),收敛半径为则原级数变为由(1)知,则此幂级数的收敛区间为[-1,1).时,原幂级数收敛.即原级数收敛区间为[-2,2),收敛半径为R=2.内容小结与思考求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,也可通过换元化为标准型再求.思考：幂级数收敛域和收敛区间的区别？请同学们求下列幂

6、级数的收敛域: