求幂级数收敛半径的方法

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1、第18卷第6期工科数学Vol.18,№.62002年12月JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGYDec.2002求幂级数收敛半径的方法高国成,宋治涛(山东科技大学公共课部,济南250031)[摘要]指出了文[1]中一个考研题的错误解法,并给出求幂级数收敛半径的几种方法.[关键词]幂级数;收敛半径;收敛区间[中图分类号]O173[文献标识码]C[文章编号]100724120(2002)06201222041引言an一般书籍上只是讲了公式法的运用,而很少涉及lim不存在且不为无穷大,但幂级数n→∞an+1∞

2、n∑anx的收敛半径存在情况的讨论,为此我们作如下工作.如文[1]给出了一九九七年研究生入学考n=0试数学一的一道试题及其解法如下:∞∞nn+1设幂级数∑anx的收敛半径为3,则幂级数∑nan(x-1)的收敛区间为.n=0n=1n+1an+1xan+1an解幂级数的收敛半径为3]limn=lim·ûxû<1,且ûxû

3、+1得ûx-1û

4、第6期高国成:求幂级数收敛半径的方法123解法一因为nnn2+(-1)limûun(x)û=limûxû=ûxû,nn→∞n→∞n所以由根值判别法知,当ûxû<1时,幂级数收敛;当ûxû>1时,幂级数发散,所以幂级数∞n2+(-1)n∑xn=1n的收敛半径为1.∞∞n2n(-1)n解法二因为容易求得∑x的收敛半径为1;∑x的收敛半径也为1,所以由幂级数n=1nn=1n∞n+12+(-1)n的运算性质知∑x的收敛半径为1.n=1n3方法总结由此产生一个问题,如何求幂级数的收敛半径.下面通过例题介绍几种求幂级数收敛半径的方法.11公式

5、法∞(-1)n-1n例2求幂级数∑x的收敛半径.n=1nan+1n1解因为Q=lim=lim=1,所以R==1.n→∞ann→∞n+1Q21比值法∞(-1)n-12n例3求幂级数∑√nx(a>0)的收敛半径.n=1a解首先注意到所给级数缺少奇次幂的项,不能用求收敛半径的公式法,应该用比值法求.√n1un+1(x)a2√n-√n+12-√n+√n+122lim=limx=lim(ax)=lim(ax)=x.√n+1n→∞un(x)n→∞an→∞n→∞22当x<1即ûxû<1时,所给幂级数绝对收敛;当x>1即ûxû>1时,所给幂级数发

6、散.故所给幂级数的收敛半径为1.31根值法例题如上述例1的法一.41利用幂级数的运算性质例题如上述例1的法二.51利用幂级数收敛半径的定义∞1nnn例4求∑n[2+(-1)]x的收敛半径.n=13解很显然,此题用比值法和根值法均无法求出收敛半径,但因为1nn1nn[2+(-1)]≤n(2+1),33∞1nn且∑n(2+1)x的收敛半径为3(2-1),所以当ûxû<3(2-1)时,幂级数n=13∞1nnn∑n[2+(-1)]xn=13收敛.因为1nnnnnn+1an=n[2+(-1)]·3(2-1)=[2-2+(-1)2+(-1)]

7、31,n为偶数,=3-22,n为奇数,∞1nnn所以liman≠0,故当x=3(2-1)时,幂级数∑n[2+(-1)]x发散.从而当ûxû>n→∞3n=1124工科数学第18卷∞1nnn3(2-1)时,幂级数∑n[2+(-1)]x发散.n=13∞1nnn所以幂级数∑n[2+(-1)]x的收敛半径为3(2-1).n=1361利用已知幂级数的收敛半径∞∞n2n+1例5设∑anx的收敛半径为R,求∑anx的收敛半径.n=1n=1∞∞∞∞2n+12n2n+12n解因为∑anx=x∑anx,所以∑anx与∑anx有相同的敛散性,从而有相同的

8、收n=1n=1n=1n=1敛半径.∞∞∞∞22nnn2n+1令x=t,则∑anx=∑ant.又因为∑anx的收敛半径为R,所以∑anx的收敛半径n=1n=1n=1n=1为R.∞∞1n例6设∑an收敛,证明:当e