2014考研数学备考重点解析——如何求幂级数的收敛半径和收敛域

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1、2014考研数学备考重点解析——如何求幂级数的收敛半径和收敛域一、相关定理阿贝尔定理：(1)若当时收敛，则当时，绝对收敛.(2)若当时发散,则当时，发散.二、具体型问题的收敛半径、收敛域的求法1.通用求法：根据阿贝尔定理，绝对收心理学考研敛，所以把加绝对值后，由比值法或根植法可反解出收敛区间.即令或解出的范围，即可得出收敛区间与收敛半径.2.便捷求法（针对不缺项的幂级数）：如果,则；或如果,则.特别时，；时，3.再单独讨论收敛区间两个端点处的常数项级数的敛散性,收敛区间与收敛端点结合在一起就是收敛域.三、抽象型问题的收敛半径、收敛

2、域的求法根据阿贝尔定理，已知在某点（）的敛散性，确定该幂级数的收敛半径可分为以下三种情况：（1）若在处收敛，则收敛半径；（2）若在处发散，则收敛半径；（3）若在处条件收敛，则收敛半径.（你会心理学考研用反证法证明该条么？）【例1】求的收敛域.【解析】.或.则收敛半径.当时，原级数为，由于发散，收敛，则原幂级数在处发散.当时，原级数为，则原幂级数在处收敛，故原幂级数收敛域为.【例2】求幂级数的收敛半径.【解析】这是缺项级数，只能用通用求法来求收敛半径，即，得，收敛半径为.【例3】例7.22设幂级数在收敛,在发心理学考研散,则该幂级数

3、收敛域为.【解析】由于幂级数在处收敛，可知当，即；该级数在处发散，可知当，即.所以收敛半径，该幂级数收敛域为