无穷级数第二节幂级数

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1、第二节幂级数函数项级数的一般概念幂级数及其收敛区间幂级数的运算函数展开成幂级数函数的幂级数展开式的一些应用1一函数项级数的一般概念设为定义在区间I上的函数项级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数为定义在区间I上的函数列,称收敛,发散,所有为其收为其发散点,发散点的全体称为其发散域.2为级数的和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数称它3例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数4二幂级数及其收敛区间形如的函数项级数称为其中称为幂级数的系数.的幂级数,

2、称为的幂级数.5发散发散收敛收敛发散定理1.(Abel定理)若幂级数则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:设收敛,则必有于是存在常数M>0,使6当时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散.时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕7几何说明收敛区域发散区域发散区域推论如果幂级数不是仅在一点存在,收敛,也不是在整个数轴上都收敛,定的正数则必有一个完全确它具有下列性质:当

3、时,幂级数绝对收敛;当时,幂级数发散;当时,幂级数可能收敛也可能发散.8正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.收敛区间为下列四种形式之一规定(1)幂级数只在处收敛,收敛区间收敛半径(2)幂级数对一切都收敛,收敛半径收敛区间说明幂级数如果在处条件收敛，则一定是该幂级数收敛区间的端点，即该幂级数的收敛半径9问题如何求幂级数的收敛半径?定理2.的系数满足1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,则若如果幂级数如果在处收敛，而在处发散,则一定是该幂级数收敛区间的端点，即该幂级数的收敛半径10证:1)若≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,即

4、时,2)若则根据比值审敛法可知,3)若则对除x=0以外的一切x原级发散,对任意x原级数因此因此级数的收敛半径11的收敛半径为说明:据此定理对端点x=－1,的收敛半径及收敛区间.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散.故收敛区间为例1.求幂级数12例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=113例3.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由14例4.的收敛区间.解:令级数变为当t=2时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛区

5、间为故原级数的收敛区间即15例5.的收敛半径、收敛区间.解当时，因为所以收敛，原级数绝对收敛当时，由于所以原级数发散，所以级数的收敛半径收敛区间16三幂级数的运算定理3.及的收敛半径分别为令则有:其中以上结论可用部分和的极限证明.设幂级数1.代数运算性质:172.和函数的分析运算性质:幂级数的和函数在收敛区间内连续,(2)幂级数的和函数在收敛区间内可积,可逐项积分.(收敛半径不变)即在端点收敛,则在端点单侧连续.且对18(3)幂级数的和函数在收敛区间内可导,并可逐项求导任意次.即(收敛半径不变)19例6.的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,20解两边积分得例7求级数

6、的和函数.21解收敛区间(-1,1),例8求的和.22四函数展开成幂级数1函数的幂级数展开式－泰勒级数问题:2)如果能展开，3)展开式是否唯一?1)在什么条件下才能展开成如何计算？的冪级数：4)在什么条件下收敛到23如果函数在内具有任意阶导数,且在有24定义设在的某个领域内有任意阶导数,则幂级数称为在处的泰勒(Taylor)级数，而系数称为泰勒系数。特别当时，幂级数25称为的麦克劳林(Maclaucin)级数。综上所述可以展开成幂级数的必要条件是在的某个领域内有任意阶导数，且此幂级数必是在处的泰勒级数，即的幂级数展开式是唯一的。2的泰勒级数收敛于的充要条件定理4各阶导数,则f(x)在该邻域

7、内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有26证明:令3函数展开成幂级数(直接展开法)步骤1)求2)求3)写出x-x0幂级数并求其收敛半径R274)在收敛区间上考察当时，的泰勒公式余项是否趋向于零，若是则所求的幂级数在收敛区间上收敛于28例9将函数展开成的幂级数。解的麦克劳林级数收敛区间为所以29例10将展开成x的幂级数.解:得级数:其收敛半径为对任何有限数x,其