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《数学分析 第十一讲 幂级数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十一讲幂级数§11.1幂级数幂级数的一般概念.型如和的幂级数.幂级数由系数数列唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一.一、知识结构1、幂级数的收敛域定理1（Abel定理）若幂级数在点收敛,则对满足不等式的任何,幂级数收敛而且绝对收敛；若在点发散,则对满足不等式的任何，幂级数发散.证明收敛,{}有界.设
2、
3、,有
4、,其中..定理1的第二部分系第一部分的逆否命题.幂级数和的收敛域的结构：幂级数收敛域的结构是关于点的对称区间，的收敛域的结构是关于点的对称区间.19定义幂级数的收敛域长度
5、的一半为收敛半径R，收敛半径R的求法.定理2对于幂级数,若,则（ⅰ）时,;（ⅱ）时;（ⅲ）时.证明,(强调开方次数与的次数是一致的).……由于,因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数的收敛区间:.幂级数的收敛域:一般来说,收敛区间收敛域.幂级数的收敛域是区间、、或之一.2、幂级数的一致收敛性定理3若幂级数的收敛半径为，则该幂级数在区间内闭一致收敛.证明,设,则对,有,级数绝对收敛,由优级数判别法幂级数在上一致收敛.因此,幂级数在区间内闭一致收敛.定理4设幂级数的收敛半径为,且在点(或)收敛,则幂级数在区间(或)上一致收敛.证明.收敛
6、,函数列在区间上递减且一致有界,由Abel判别法,幂级数在区间上一致收敛.19易见,当幂级数的收敛域为(时,该幂级数即在区间上一致收敛.3、幂级数的性质（1）逐项求导和积分后的级数设①，②，①和②仍为幂级数.我们有定理5幂级数和与有相同的收敛半径注:①和②与虽有相同的收敛半径(因而有相同的收敛区间)，但未必有相同的收敛域,例如级数.（2）幂级数的运算性质:定义1两个幂级数和在点的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数.定理6.定理7设幂级数和的收敛半径分别为和,,则（ⅰ）,—常数，.（ⅱ）+,.（ⅲ）()(),,.
7、19（3）幂级数的和函数的性质定理8设在(内.则（ⅰ）在内连续;（ⅱ）若级数或收敛,则在点(或)是左(或右)连续的;（ⅲ）对,在点可微且有;（ⅳ）对,在区间上可积,且.注当级数收敛时,无论级数在点收敛与否,均有.这是因为:由级数收敛,得函数在点左连续,因此有.推论1和函数在区间内任意次可导,且有,……，.注由推论1可见,是幂级数的和函数的必要条件是任意次可导.推论2若,则有二、解证题方法19例1求幂级数的收敛域.()例2求幂级数的收敛域.()例3求下列幂级数的收敛域:⑴();⑵().例4求级数的收敛域().例5验证函数满足微分方
8、程.验证给幂级数的收敛域为.解因为，所以,代入得.因为，所以的收敛域为.例6将,,展成幂级数,并求收敛域.解由于,.所以,..19,.例3（东南大学2005年）设在处条件收敛，求其收敛半径.解因为在处条件收敛，所以收敛，而发散.进而当时级数发散,故其收敛半径为.例4(北京化工大学2003年)若,,证明:的收敛半径.解由于,则,所以的收敛半径例5(北京师范大学2003年)求幂级数()的收敛域.解由于,所以收敛半径.研究级数的敛散性.当时,由于,且收敛,所以收敛.而收敛,故收敛域.当时,,所以发散,由于当19充分大时,单调递减趋向于
9、,所以收敛,故收敛域为,综上所述,当时,收敛域为,当时,收敛域为.例6(天津工业大学2005年)求幂级数的收敛域.解由于,又,故收敛半径.由积分判别法知,当时,发散,而,所以发散,由Leibniz判别法知当时,收敛.故的收敛域为.例7(复旦大学2001年)确定由幂级数收敛点全体构成的收敛域.解由于,所以收敛半径为,显然当时,发散.下面研究当时的敛散性.易知.由于,所以当时,是单调递减,即时是单调递减趋于的数列,从而19收敛,故得收敛域为.例8(大连理工大学2006年)求的收敛域.解因为,当时,不趋于（）,所以当时该级数发散.当时
10、,为交错级数,所以收敛.故的收敛域为.例9(上海理工大学2003年)求级数的收敛域.解令,对辅助函数计算收敛半径,当时,级数成为,由Abel判别法可判定其收敛;当时，级数成为,由p-级数判别法可判定其发散，故辅助幂级数的收敛域为19，原广义幂级数收敛域为，即.例10(华中科技大学2007年)设在上二阶可导,且满足和,令,求收敛域.解因为,所以.从而.于是由L’Hospital法则知,所以收敛且当充分大时，有成立，从而易知，所以的收敛半径为1.又因为,且收敛，所以与（）.故的收敛域为.练习[1](兰州大学2005年)求幂级数的收敛
11、域及和函数.(答案:收敛域,和函数)[2](兰州大学2006年)求幂级数的收敛域及和函数.(答案:收敛域19,和函数)[3](西安电子科技大学2004年)求幂级数的收敛域及和函数.(答案:收敛域,和函数)[4](电子科技大学2003年)求幂级数的收敛域及和函数.
