《高等数学》第一章函数与极限（电子讲稿）

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1、第一章函数与极限高等数学研究的对彖是函数，所谓函数就是变量之间的依赖关系.极限方法是研究变量的一种重要的基本方法，它是学习微分学、积分学的基础.本章将介绍集合、函数、极限和函数的连续性等基本概念及其性质.第一节函数—、集合集合是数学屮的一个基本概念，一个班的全体学生构成一个集合，全体整数构成一个集合等等.一般地，具有某种特定性质的事物的总体称为一个集合（简称集）.组成这个集合的事物称为这个集合的元素（简称元）.集合通常用大写的英文字母4,B,C,・••表示，其元素则用小写的英文字母d,b,c,…表示.如果d是集合A的元素，就说d属于记作gwA,否则，

2、就说d不属于4,记作含有有限个元素的集合称为有限集；不是有限集的集合称为无限集.对于数集，习惯上全体自然数的集合记作全体整数的集合记作Z；全体有理数的集合记作Q;全体实数的集合记作/?.我们有时在表示数集的字母的右上角标上“*”來表示该数集内排除0的集，标上“+”來表示该数集内排除0与负数的集.例如，全体正整数的集合记作ZJ即Z+=｛1,2,3,・・*，T・如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作Au3或如果集合A与集合3互为子集，则称集合4与集合B相等，记作A=B,即4=且BdA・如果且4工8，则称集合4是集合B的真子集，记作AgB

3、.不含任何元素的集合称为空集，记作0,规定空集0是任何集合A的子集，即0uA.集合的基本运算有交、并、差等•设力、B两个集合，由所有既属于力又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集（简称交），记作即ACl3=｛xxeA且xwB｝；由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，称为A与〃的并集（简称并），记作AUB,即AUB二｛x

4、jcwAsJueB｝；由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集（简称差），记作ABf即AB=｛x

5、xgA且xeB｝；有时我们所研究的集合4、B都是集合/的子集，此时，称集合/为全集或基本集，称IA为A的余

6、集或补集，记作半、・设A、B、C为任意3个集合，则集合的交、并、余运算满足下列运算规律：交换律AAB=BnA,AJB=BJA；结合律（AnB）nC=An（BAC）,（AUB）UC=AU（BUC）；分配律（Aguc=（4uc）n（Buc）,（4UB）nc=（Anc）u（Bnc）；对偶律（AnB）c=ACJBCf（4uB）c=AcCBc.二、区间和邻域所谓有限区间是指介于两个实数d与b之间的一切实数，在数轴上就是从d到b的线段.a与b称为区间的端点，当〃时，a称为左端点，〃称为右端点.数集｛xa

7、d

8、WxWZ?｝称为闭区间，记作［a,b］.类似地，数集｛xax

9、(b)(YO.0)1111OaX0b(C)(d)图1-1以后我们会看到，有些定理的成立与变量的区间的开闭有很大关系，但有些情形不需要我们常常统称为区间，并记作八考虑区间的开闭以及是有限区间还是无限区间，此时,有一类特殊的区间，我们称为邻域，以点。为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作"⑷.设5是任一正数，以点g为小心，以5为半径的开区间，即开区间(a-39a+8)称为点。的5邻域,记作U(a,8)(图1-2).依定义有U(a,8)={xa-8

10、兀-a

11、表示点兀与点d之间的距离，所以点d的

12、5邻域U(a,8)表示与点d距离小于5的一切点兀的全体.如果把点d的5邻域U(a,3)的中心点a去掉后，称此邻域为点a的去心〃邻域，记作U(a,8),即b(a,5)=｛x

13、0<

14、x-a

15、<^｝.有时把开区间(a-3,a)称为a的左6邻域,把开区间(a,a+8)称为a的右3邻域.三、函数的概念我们在研究某一实际问题或自然现彖的过程中，总会发现问题中的变量并不是独立变化的，变量之间往往存在着依存关系.下面我们考察两个例子：••例1球的体积V随半径/?的改变而变化，它们的关系为4V=-tiR3,Re(0,+oo).••例2自由落体运动中，物体下落的距离力和

16、时间r都是变量，它们有如下关系：h=^gt2,re[O,T].从以上的例子我们看到，它们所描述的问题虽各不相