高等数学第十二章微分方程.ppt

《高等数学第十二章微分方程.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第十二章微分方程一阶微分方程一、基本概念1．一阶微分方程的定义或2．一阶微分方程的解、通解一阶微分方程的通解：含有一个任意常数的解一阶微分方程的解：使微分方程恒成立的.3．一阶微分方程的特解4．一阶微分方程的类型（1）可分离变量方程：（2）齐次方程：（3）一阶线性微分方程：初始条件：.特解：初值问题的解。（4）伯努利方程：二、解题方法流程图求一阶微分方程通解的关键是先判定方程的类型，而判定方程类型的一般方法和思路是：（1）先用观察法判定是否为可分离变量方程，若是分离变量，两边积分即可得到其通解，否则转入下一步。（5）全微分方程：,满足(齐次方程)(一阶线性方程)(贝努利方程)若

2、,继续判别。（2）判定是否为全微分方程。若,则为全微分方程，其通解为：（3）解出的解析式：判别是否为下面类型的方程：对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这时常用的方法和技巧如下：A.熟悉常用的微分公式；B.选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程；一阶微分方程的解题方法流程图如下。C．变换自变量和因变量（即有时把看成自变量，而考虑的方程类型）。求通解一阶线性方程通解为贝努利方程其它一般方程令一阶线性方程变量代换齐次方程令可分离变量全微分方程可分离变量方程在G内取通解隐式通解可分离变量YesYesNo解出No解题方法流

3、程图一、可降阶的高阶微分方程1．高阶微分方程的定义2．可降阶的高阶微分方程类型(1)(2)(3)3．可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，转化为成一阶微分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求出通解。解题方法流程图如下图所示。高阶微分方程解题方法流程图逐次积分解一阶微分方程解一阶微分方程可降阶的高阶微分方程特点:不显含转化为一阶方程特点:不显含通解YesNo令令转化为一阶方程二、二阶常系数线性微分方程1．定义(1)二阶常系数线性齐次微分方程：(2)二阶常系数线性非齐次微分方程:2．解的结构性质(1)若和是齐次方程的解,则是齐次方程的解。

4、(2)若和是齐次方程的线性无关解,则是齐次方程的通解。(3)若是齐次方程的通解，是非齐次方程的特解，则是非齐次方程的通解。和(4)若分别是非齐次方程的特解，则是非齐次方程的特解。特征根通解3.齐次方程的解题方法2）求齐次线性方程的通解1）写出特征方程,并求特征根；4.非齐次方程的特解(1)若设特解为不是特征方程的根是特征方程的单根是特征方程的重根设特解为(2)若不是特征方程的根是特征方程的根5.非齐次方程的解题方法求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，一般分为四步：2）求对应的齐次线性方程的通解3）根据不同类型的自由项，利用待定系数法求出一个特解4）写出原方程的通解。解题方法流

5、程图如下图所示。1）写出特征方程,并求特征根；解题方法流程图特征方程：有实根的类型混合型对分别求特解令k为特征方程含根的重复次数代入原方程，用待定系数法确定其参数令k为特征方程含根的重复次数通解YesYesYesNoNoNo求通解No三、一阶微分方程典型例题解：分离变量为积分得分析：用观察法，可见它是可分离变量方程。【例1】求解微分方程。因此，所求通解为.分析：将方程变形，得此方程为齐次方程，所以按框图中的方法求解。【例2】求微分方程的通解。解：令,于是,上式可化为分离变量积分得所以故原方程的通解为即,为可分离变量的方程分析：此题为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。【例

6、3】求微分方程的特解。解法1：对应齐次方程为分离变量解得代入原方程得由常数变易法，令，则解得所以原方程通解为特解为将代入得特解为将代入得解法2：因为，，利用求解公式得【例4】求微分方程的通解.分析：按框图所叙述的方法和思路，由于所给方程不是常见的已知类型的方程，即按通常的想法——将当作自变量，则方程为非线性方程。但若将当作因变量，即将方程改写为此时方程变为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。解：因为由公式得原方程的通解为所以为一阶线性微分方程分析：首先可以看出，它不是可分离变量方程；又故按框图中的方法求解。【例5】求解微分方程。显然，它也不是全微分方程。于是继续判别，解出

7、，得。这是贝努利方程，为一阶线性方程。由公式得所以，原方程的通解为解：令,代入方程可化为分析：可将方程变形为，此方程为齐次方程；所以按框图中的方法分别求解。也可将方程变形为，此方程又为贝努利方程，令，代入原方程得解得，即解法1：将原方程整理成,即标准的齐次方程，【例6】求方程满足的特解。代入有，原方程特解是数的一阶线性方程，解之得即解法2：整理原方程得，为贝努利方程。令代入原方程得，是以为未知代入有，原方程特解是故此方程为全微分方程，用框图中的方法求解。【例7】求微分方程的通解。分析：原方程