高等数学教案第十二章微分方程

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1、《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案张谋第十二章微分方程一、教学目标及基本要求1、了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解以及积分曲线等概念。2、掌握可分离变量微分方程的解法。3、掌握齐次方程的解法，并知道如何解可化为齐次的方程。4、会用微小量分析法建立微分方程解决应用问题。5、知道解一阶线性微分方程的常数变易法，并掌握一阶非齐次线性方程的通解公式。6、知道一阶非齐次线性方程的通解为对应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解之和。7、会用变量代换解伯努利方程。8、掌握判别全微分方程的条件并会用曲线积分求全微分方程的通解。9、知道积分因子的概念并会用积

2、分因子法求一些简单的微分方程的解。10、掌握用降阶法解特殊类型的二阶微分方程。11、了解函数线性无关与线性相关的概念。12、理解二阶齐次线性方程通解的结构与二阶非齐次线性方程通解的结构，并知道n阶线性方程的通解与有类似的结构。13、理解线性方程解的叠加原理。14、掌握求二阶常系数齐次线性方程的通解的方法（欧拉指数法），并了解高阶常系数齐次线性方程的解法。15、会用待定系数法求自由项特殊的两类形式的二阶常系数非齐次线性方程的特解，并写出通解。16、会用叠加原理，求自由项f(x)=f(x)+f(x)的二阶常系数非齐次线12性方程的特解。二、本章各节教学内容

3、及学时分配第一节微分方程的基本概念第二节可分离变量的微分方程2学时第三节齐次方程2学时第四节一阶线性微分方程2学时第五节全微分方程2学时第六节可降阶的高阶微分方程2学时第七节高阶线性微分方程2学时第八节常系数齐次微分方程2学时第九节常系数非齐次微分方程2学时三、本章教学内容的重点和难点1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念；2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法；3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法；4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。四、本章教学内容的深化和拓宽：1、分离变量法的理论根据；第十二章微分方程第1

4、页共51页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案张谋2、方向场与几何解释；3、等斜线与图解法；4、常用的变量代换；5、怎样列微分方程解应用题；6、黎卡提方程；7、近似积分法；8、全微分方程的推广；9、二阶齐次方程；10、高阶微分方程的补充；11、刘维尔公式；12、求线性齐次方程的另一个线性无关的解；13、求线性非齐次方程的一个特解；14、常数变易法；15、欧拉公式法。本章的主要参考书目：1、陈兰祥编高等数学同步精讲（下册）北京学苑出版社20032、曹治勋等编高等数学全程指导（下册）沈阳东北大学出版社20033、黄光谷等编高等数学学习指导与习题解析（下册）第二版、武

5、汉华中科技大学出版社2002本章的思考题和习题解下列方程（第1-6题）1、1(+x)y′+y=x,y)0(=2xxx22、f(x)=e+e∫[]f()xdx,f可微022221+X3、1+xsin2y•y′=2xsiny+e424、(y−3x)dy+xydx=0215、y′′+2yx′=,0y)0(=,1y′)0(=−226、y=yx′+y′−y′xf(x)dx7、已知可微函数f(x)满足∫=f(x)−,1求f)1(和f(x)；1f2(x)+x118、已知∫f(ax)da=f(x)+,1f可微,求f(x)；0222a9、求与曲线族2x+3y=C相交成4

6、5角的曲线；10、一容器的容积为100L，盛满盐水，含10kg的盐，现以每分钟3L的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多余的水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？第一节习题12—11（1）（3）（5）、2（1）（3）、3、4、5（2）第二节习题12-21（1）（3）（5）（7）（9）、2（1）（3）（5）3、5、6第三节习题12-31（2）（4）（6）（8）、2（1）（3）3、4、（2）（4）第四节习题12-41（2）（4）（6）（8）2、3、4第五节习题12-51（2）（4）（

7、6）（8）2、3、4第六节习题12-61（2）（4）（6）（8）（10）、2（2）（4）（6）、3、4．第十二章微分方程第2页共51页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案张谋第七节习题12-71、2、4（2）（4）（6）、5、6第八节习题12-81（2）（4）（6）（8）（10）2（2）（4）（6）4、5第八节习题12-91（2）（4）（6）（8）（10）、2（2）（4）、4、5、6第十二章微分方程第3页共51页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案张谋第一节微分方程的基本概念一、内容要点：先从实例引入建立几个微分方程的模型，引入微分方程的一系列概念；常微分方程：常微分方程

8、的阶数、解、通解、全部解、特解、积分曲线族的定义；二、教学要求和注意点了解微分方程与微分方程的