高等数学第十二章 微分方程课件.ppt

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1、微分方程第十二章—积分问题—微分方程问题推广1微分方程的基本概念第一节2引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.一、问题的提出3引例2在推广某项技术时，若该项技术需要推广的总人数为N，t时刻已掌握技术的人数为P（t），则新技术推广的速度与已推广人数和尚待推广人数成正比，即有方程4微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数

2、的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义5微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.分类1:常微分方程,偏微分方程.一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:微分方程的分类6分类3:线性与非线性微分方程.分类4:单个微分方程与微分方程组.未知函数以及各阶导数都是一次的,线性微分方程7微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：三、主要问题-----求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.8(2)特解:确定了通解中任

3、意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.9过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.10解11所求特解为12微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题;积分曲线;四、小结13转化可分离变量微分方程第二节可分离变量方程可分离变量方程14可分离变量方程的解法:两边积分,得15设y＝(x)是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y

4、)＝g(y)≠0时,说明由②确定的隐函数y＝(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.16例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)17分离变量两边积分得到即为所求的通解。18分离变量两边积分得到即为所求的通解。19通解为解20解：例5：求解逻辑斯谛方程的通解，以及分离变量有积分得整理得代入初始条件得

5、C=1/3，所求解为21例6.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为22例7.求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:23练习:解分离变量即(C<0)24求满足的特解25内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解y=–x及y=C26思考与练习求下列方程的通解:提示:(1)分离变量(2)方程

6、变形为27作业P2691(1),(3),(7),(10);2(3),(4);628齐次方程第三节29一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.为同次齐次函数(同次齐次函数:若函数满足则称此函数为K次齐次函数)如:3031令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:32例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)33例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(

7、C为任意常数)求解过程中丢失了.34例3解微分方程微分方程的解为解35例4求解微分方程解：分离变量得即积分有36作业P2761(1),(4),(6);2(2),(3);37