高等数学b第十一章

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1、讲授内容§11.1对坐标的曲线积分的概念§11.2对坐标的曲线积分的计算教学目的与要求：１、理解对坐标的曲线积分的概念.２、掌握对坐标的曲线积分的性质.３、熟练掌握对坐标的曲线积分的计算方法.教学重难点：重点—第二类曲线积分的计算方法．难点—第二类曲线积分的反向变号性质.下限对应有向曲线的起　　　　　　　　　　点，上限对应终点.教学方法：讲练结合教学法教学建议：１、建议对变力作功问题作仔细讲解，从而深化学生对第二类曲线积分概念的理解.２、通过大量针对性的例题讲解及练习，使学生熟练掌握其计算.学时：2学时教学过程一、对坐标的

2、曲线积分的概念1.引例：求变力沿有向曲线所作的功设在xOy面上有一质点从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,在移动过程中,质点受到变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用.其中P(x,y),Q(x,y)在L上连续.求变力F(x,y)作的功.将L用其上的点A=M0(x0,y0),M1(x1,y1),…,Mn－1(xn－1,yn－1),Mn(xn,yn)=B划分为n第十一章第51页段.在第i个有向小弧段Mi－1Mi任取一点(ξi,ηi),由于有向小弧段Mi－1Mi光滑且很短,故可用有向线段Mi－1Mi=(Δxi)i+(

3、Δyi)j代替它,其中Δxi=xi－xi－1,Δyi=yi－yi－1,因此变力F(x,y)沿有向小弧段Mi－1Mi所作的功可看作常力F(ξi,ηi)沿有向线段Mi－1Mi=(Δxi)i+(Δyi)j所作的功,即：Δwi≈F(ξi,ηi)•Mi－1Mi=P(ξi,ηi)Δxi+Q(ξi,ηi)Δyi.以λ表示n个小弧段的最大长度,则变力F(x,y)沿有向曲线L所作的功为：W=Δwi=P(ξi,ηi)Δxi+Q(ξi,ηi)Δyi1.对坐标的曲线积分的定义定义：设L为xOy面上点从A沿点B的一条光滑有向曲线弧,函数P(x,y)

4、,Q(x,y)在L上有界.在L上沿L的方向任意插入一点列A=M0(x0,y0),M1(x1,y1),…,Mn－1(xn－1,yn－1),Mn(xn,yn)=B将L划分为n个有向小弧段Mi－1Mi(i=1,2,…n),在第i个有向小弧段Mi－1Mi上任取一点(ξi,ηi),设Δxi=xi－xi－1,Δyi=yi－yi－1,以λ表示n个小弧段的最大长度,若极限P(ξi,ηi)Δxi存在,则称此极限为函数P(x,y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,记作：P(x,y)dx.同理,若极限Q(ξi,ηi)Δyi存在,则称此极限为函数

5、Q(x,y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分,记作：Q(x,y)dy.第十一章第51页即：P(x,y)dx=P(ξi,ηi)Δxi；Q(x,y)dy=Q(ξi,ηi)Δyi其中,P(x,y),Q(x,y)为被积函数；L为积分曲线.上述两个积分称为第二类的曲线积分.在应用上常将上述两个积分合起来写成：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.写成向量形式为：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=F(x,y)•dr其中F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j;dr=dxi+dyj同理,当Γ为空间

6、有向曲线,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在Γ上有界,则定义：P(x,y,z)dx=P(ξi,ηi,ζi)ΔxiQ(x,y,z)dy=Q(ξi,ηi,ζi)ΔyiR(x,y,z)dz=R(ξi,ηi,ζi)Δzi.合起来即为：P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=P(x,y,z)dx+Q(x,yz)dy+R(x,y,z)dz1.对坐标的曲线积分的性质：1)Pdx+Qdy=Pdx+Qdy+Pdx+Qdy第十一章第51页1)P(x,y)dx=-P(x,y)dx；Q(x,y)d

7、y=-Q(x,y)dy；或者P(x,y)dx+Q(x,y)dy=-P(x,y)dx+Q(x,y)dy；这里-L为L的负方向.注：对坐标的曲线积分与方向有关，故必须注意积分方向.二、对坐标的曲线积分的计算方法定理：设函数P(x,y),Q(x,y)在有向曲线弧L上连续,L的参数方程为：x=φ(t),y=ψ(t)，当参数t单调地从α变到β时,点M(x,y)从L的起点A运动到终点B,φ(t)和ψ(t)在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续的导数,且φ′2(t)+ψ′2(t)≠0,则有：P(x,y)dx+Q(x,y)dy={P[φ(

8、t),ψ(t)]φ′(t)+Q[φ(t),ψ(t)]ψ′(t)}dt．证明：在L上任取点列：A=M0,M1,…,Mn－1,Mn=B,它们对应一列单调变化的参数值：α=t0