《高等数学》第十一章复习要点

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1、第十一章无穷级数复习要点§1常数项级数的概念和性质一、级数的基本概念1.级数的定义设有无穷数列，则称为无穷级数，简称级数，称为级数的一般项数列：，，，称为级数的前项和数列2.级数收敛与发散的定义若，则称级数收敛于和；若不存在（或为），则称级数发散.几何(或等比)级数的敛散性是：当时，它收敛；当时，它发散.二、级数的主要性质：1.级数与级数同敛散（），当级数收敛于和时，级数收敛于和.2.若级数与分别收敛于和，则级数也收敛且和为.3.在级数中添加或去掉有限项不会改变级数的敛散性.4.若级数收敛，则.5.若,则级数必发散.§2常数项级数的审敛法一、正项级数的审敛法若在级数中总有则

2、称是正项级数.级数的敛散性是：当时,它收敛;当时，它发散.正项级数的审敛法有：1.比值法设是正项级数.若，则有：（1）若，则级数收敛；（2）若，则级数发散；（3）若，比值法失效.注：一般当含次方或阶乘时可用比值法.2.比较法设两正项级数、满足：，则有（1）若收敛，则收敛；（2）若发散，则发散.2.比较法的极限形式设两正项级数、满足：（），则级数与同敛散；注：当时，若级数收敛则级数也收敛；当时，若级数发散则级数也发散；在应用比较法及其极限形式时，常选等比级数或级数作比较对象.一、交错级数的审敛法形如或的级数称为交错级数，其中.莱布尼兹定理：若交错级数或满足：（1），即数列单调

3、递减；（2），则交错级数或收敛，且其和.二、绝对收敛与条件收敛对任意项级数，若收敛，则必收敛.若级数收敛，则称级数绝对收敛；若级数发散而级数收敛，则称级数条件收敛.注：对交错级数，一般先判断的敛散性，在判断的敛散性时，所有正项级数的审敛法都可以拿来用，若其收敛则交错级数绝对收敛；若其发散，再判断自身的敛散性.交错级数当是为条件收敛，当时为绝对收敛.§3幂级数一、幂级数的收敛半径、收敛域对幂级数，设，则收敛半径.注：求幂级数的收敛域，先求出其收敛半径，再讨论级数在端点处的敛散性，才能得到幂级数的收敛域.二、将函数展开成（或）的幂级数，并给出可展区间.熟记以下几个基本函数的展开

4、式，并熟练掌握换元法.(1);;(2).