高等数学复习要点

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1、高等数学复习要点第一讲极限理论一基本初等函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性和图象，其中函数图像是重中之重，由函数图像可以轻易的得到函数的其它要素（P17-20）二求极限的各种方法⑴当为连续函数时,,则有例1计算极限⑵设为非负整数,则例2计算极限：⑴⑵⑶用两个重要极限求①（，）结论：当时，，。②（，）实质：外大内小，内外互倒例4计算极限：⑴⑵⑷未定式的极限（，，，，，）①罗必达法则例5计算极限：②设法消去零因子（分子有理化，分母有理化，分子分母同时有理化等方法）例6计算极限：⑴⑵③用等价无穷小量代换（切

2、记：被代换的部分和其他部分必须是相乘关系！）例7计算极限⑸无穷小量乘有界变量仍是无穷小量。例8计算极限：⑴⑵-7-三连续和间断1.连续的定义2.间断点的定义和分类四闭区间上连续函数的性质（这里有一些证明题值得注意）。第二讲微分学一导数概念导数：左导数：右导数：实质：差商的极限。例1计算极限：⑴⑵二各种求导法⑴导数公式表（P94）和四则运算法则（P85）例2设，求；例3设，求，；⑵复合函数的求导（P90）例4求下列函数的导数①②⑶隐函数求导（方法：把当作的函数，两边对求导）例5求下列隐函数的导数①②⑷对数求导法

3、（多用于幂指函数和由多因子相乘构成的函数的求导）例6求下列函数的导数①②⑸由参数方程确定的函数的求导重点：由参数方程确定的函数的导数为；例7设，求；三高阶导数例8设，求；例9设，求；四微分重点：函数的微分是-7-例10设，求；例11设，求；五单调性和极值重点：⑴由的符号可以判断出的单调性；⑵求的极值方法：①求出，令其为零，得到驻点及不可导点，姑且统称为可疑点；②判断在可疑点两侧附近的符号，若左正右负，则取得极大值；若左负右正，则取得极小值；若同号，则不取得极值。例12求函数的单调区间和极值点。例13证明：当时

4、，恒有。六最值问题求函数在区间上的最值之步骤：①求出，令其为零，得到可疑点（驻点和不可导点），并求出函数在这些点处的取值；②求出函数在区间端点取值，；③比较函数在可疑点和区间端点上的取值，最大者即为最大值，最小者即为最小值。例14求下列函数在指定区间上的最值。⑴，⑵，七凹凸性和拐点重点：⑴凹凸性概念：设在区间内连续，若对（），有（）则称在内是凹函数（凸函数）。（用此定义可以证明一些不等式，见下例）。⑵由的符号可以判断出的凹凸性。为正号则是凹函数，为负号则是凸函数。⑵判断的拐点之方法：①求出，令其为零，得到等于

5、的点和不存在的点；②判断在这些点两侧附近的符号，若为异号，则该点是拐点；若同号，则该点不是拐点。例15求下列函数的凹凸区间和拐点。⑴⑵例16证明：当时，必有（）。第三讲积分学一不定积分与原函数的概念与性质⑴原函数：若，则称为的一个原函数。-7-⑵不定积分：的全体原函数称为的不定积分，即，这里⑶不定积分的性质（P174,共2个）特别强调：；（切记常数不可丢）二定积分的概念与性质⑴定积分概念：⑵定积分和不定积分的区别：定积分是和式的极限，计算结果是个常数；不定积分是由一族函数（被积函数的原函数）构成的集合。⑶在上

6、可积的必要条件：在上有界；充分条件：在上连续；⑷定积分的几何意义：设，，则表示由，，及围成的曲边梯形的面积。⑸定积分的性质（P210,共7个）注意结合定积分的几何意义理解之。例：⑥若对，有，则有。⑦若在上连续，则存在，使得满足。另：若是奇函数，则。三由变上限积分确定的函数⑴定义：设在上连续，则称函数，为变上限积分确定的函数。⑵求导问题：例1求下列函数的导数。①②⑶与罗必达法则结合的综合题例2求下列极限：①②四求积分的各种方法⑴直接积分法（两个积分表P174和P185）例3计算积分：①②-7-⑵第一换元法（凑微

7、分法）重点：常用凑微分公式：，，，，，，，。注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。例4计算积分：①②③④⑶第二换元法重点：常用换元方法：①被积函数中若有，令；若有和，令，这里是，的最小公倍数。②被积函数中若有，令；③被积函数中若有，令；④被积函数中若有，令；注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。例5计算积分：⑴⑵例6设是定义于实数集上的连续函数，证明⑴，⑵⑷分部积分法关键：适当选择，。选择的技巧有①若被积函数是幂函数乘易积函数，令为易积函数，为幂函数。②若被积函数是幂函数乘不易积函数，令为

8、幂函数，为不易积函数。例7计算积分：⑸有理分式函数的积分步骤：①-7-若是假分式，先用分式除法把假分式化为多项式与真分式的和，多项式积分非常容易，下面重点考虑真分式的积分。②把分解成如下形式这里，……，。③把化为如下形式这里为待定系数，通过对上式进行通分，令等式两边的分子相等，即可解得这些待定系数。④于是对的积分就转化成对上面等式的右端积分了，然后再对上式右端积分。例8计算积分：⑴⑵五定积分的分段积