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1、第十章曲线积分与曲面积分复习要点§1对弧长的曲线积分一、了解对弧长的曲线积分的概念与性质1.定义：.其中称为被积函数,称为积分路径.如果是闭曲线,那么上述对弧长的曲线积分可记作.2.性质:（1）设、为常数,则（2）若积分路径,则二、掌握队弧长的曲线积分的计算方法基本思想：转化为定积分来计算步骤：1.将曲线方程代入被积函数f(x,y),使之转化为一元函数；2.利用.将化为曲线方程中自变量的微分；3.曲线方程中自变量的取值范围为定积分的积分区间.应注意的问题:定积分的下限a一定要小于上限b.例如，若曲线方程的方程为：，,则.若曲线方程的方
2、程为：，,则.若曲线方程的方程为：，，,则6§2对坐标的曲线积分一、了解对坐标的曲线积分的概念与性质1.定义：,称为函数在有向曲线上对坐标的曲线积分.,称为函数在有向曲线上对坐标的曲线积分.对坐标的曲线积分的简写形式:2.对坐标的曲线积分的性质:(1)若积分路径,则.(2)是有向曲线弧,设是与方向相反的有向曲线弧,则.二、掌握对坐标的曲线积分的计算方法基本思想：转化为定积分来计算步骤：1.将曲线方程代入被积函数P(x,y),Q(x,y)使之转化为一元函数；2.利用曲线的方程将化为曲线方程中自变量的微分；3.起点的坐标为定积分的下限，终
3、点的坐标为定积分的上限（不论大小）若曲线方程的方程为：，，被积函数P(x,y),Q(x,y)在光滑有向曲线上的连续,当参数单调地由a变到b时,点从曲线的起点沿曲线运动到终点,则,.即.注意a不一定小于b.6§3格林公式及其应用一、格林公式设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数P(x,y),Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数,则有,其中是的取正向的边界曲线.曲线的正向规定如下:当观察者沿曲线的这个方向行走时,区域总在他的左边.应注意的问题:定理要求,函数、具有一阶连续偏导数，曲线是区域的取正向的边界曲线，如果这两个条件之一不能满足,那么定理
4、的结论不能保证成立.要求:会用格林公式计算对坐标的曲线积分.二、掌握平面曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的概念:设是一个开区域,函数、在区域内具有一阶连续偏导数.如果对于内任意指定的两个点、以及G内从点到点的任意两条曲线、，恒有则称曲线积分在内与路径无关,否则称该积分与路径有关.曲线积分在内与路径无关相当于沿内任意闭曲线的曲线积分.曲线积分路径无关三、二元函数的全微分求积求函数的公式:,注：上述积分与积分路径无关。6§4对面积的曲面积分一、了解对面积的曲面积分的概念与性质1.定义：.2.性质:(1)设为常数,则;(2)若曲面
5、则;(3),（为曲面S的面积.）二、掌握对面积的曲面积分的计算基本思想:化为二重积分:来计算例如，若曲面S的方程为：,S在坐标面上的投影区域为，则.§5对坐标的曲面积分一、了解对坐标的曲面积分的概念与性质1.有向曲面本节我们遇到的曲面都是有向曲面.例如由方程表示的曲面分为上侧与下侧；由方程表示的曲面分为左侧与右侧；由方程表示的曲面分为前侧与后侧；闭曲面有内侧与外侧之分。2.定义：.此极限称为函数在有向曲面S上对坐标的曲面积分,其中函数叫做被积函数,S叫做积分曲面.6.此极限称为函数在有向曲面S上对坐标的曲面积分,.此极限称为函数在有向
6、曲面S上对坐标的曲面积分,对坐标的曲面积分的简记形式:.3.性质：(1)若曲面则.(2)设S是有向曲面,-S表示与S取相反侧的有向曲面,则.二、对坐标的曲面积分的计算法基本思想:化为二重积分来计算如果积分曲面S由方程表示,S在坐标面上的投影区域为,则有,其中当S取上侧时,积分前取“+”;当S取下侧时,积分前取“-”.如果积分曲面S由方程表示,S在坐标面上的投影区域为,则有.其中当S取前侧时,积分前取“+”;当S取后侧时,积分前取“-”.如果积分曲面S由方程表示，S在坐标面上的投影区域为,6则有.其中当S取右侧时,积分前取“+”;当S取
7、左侧时,积分前取“-”.三、掌握高斯公式,会用高斯公式计算对坐标的曲面积分高斯公式,其中函数、、在W上具有一阶连续偏导数,S为空间闭区域W的整个边界曲面的外侧.6
